《理論》〈電気回路〉[H18:問3]可動接点がある抵抗を持つ三相交流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，三相交流回路に関する記述である 文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる数値を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

対称三相電圧\( \ {\dot E}_{ab}=200∠0^{\circ } \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{bc}=200∠-120^{\circ } \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{ca}=200∠-240^{\circ } \ \mathrm {[V]} \ \)が，図のような負荷の端子\( \ \mathrm {a} \ \)，\( \ \mathrm {b} \ \)，\( \ \mathrm {c} \ \)に印加されている。負荷端子の\( \ \mathrm {a-b} \ \)間には抵抗値が\( \ 20 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)で可動接点\( \ \mathrm {n} \ \)をもつ抵抗が接続されており，その接点\( \ \mathrm {n} \ \)と負荷端子\( \ \mathrm {c} \ \)の間には抵抗値が\( \ 10 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の固定抵抗が接続されている。ただし，\( \ \mathrm {a-n} \ \)間の抵抗は長さに比例しているものとする。いま，分割の係数を\( \ k \left( 0≦k≦1\right) \ \)とすると，\( \ \mathrm {a-n} \ \)間の抵抗値は\( \ 20k \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ \mathrm {b-n} \ \)間の抵抗値は\( \ 20\left( 1-k\right) \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)となる。

この回路において，可動接点を\( \ \displaystyle k= \frac {1}{2} \ \)となる位置に設定すると各電流計は同じ値\( \ \fbox {　 （１） 　} \ \mathrm {[A]} \ \)を指す。このときの負荷の全電力は\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \mathrm {[W]} \ \)である。

次に，可動接点を動かして\( \ k=1 \ \)とするとき，\( \ \mathrm {b} \ \)相の電流計の指示値は\( \ \fbox {　 （３） 　} \ \mathrm {[A]} \ \)となり，負荷の全電力は\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \mathrm {[W]} \ \)となる。

さらに，\( \ \mathrm {c} \ \)相の電流計の指示値に注目すれば，\( \ k=0 \ \)の場合と\( \ k=1 \ \)の場合で同じ値となるが，この値は\( \ \displaystyle k= \frac {1}{2} \ \)としたときの値の\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)倍である。

〔問3の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {1}{\sqrt {3}}　　　　　&（ロ）&　20　　　　　&（ハ）&　3 \ 000 \sqrt {3} \\[ 5pt ] &（ニ）&　900　　　　　&（ホ）&　10 \sqrt {3}　　　　　&（ヘ）&　4 \ 000 \\[ 5pt ] &（ト）&　10 \sqrt {7}　　　　　&（チ）&　1　　　　　&（リ）&　9 \ 000 \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\sqrt {3}　　　　　&（ル）&　\frac {20}{\sqrt {3}}　　　　　&（ヲ）&　12 \ 000 \\[ 5pt ] &（ワ）&　10 \sqrt {5}　　　　　&（カ）&　6 \ 000　　　　　&（ヨ）&　20 \sqrt {6} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

可動接点を持つ抵抗により抵抗値が変化する三相回路に関する問題です。
(1)，(2)の三相平衡回路は\( \ 3 \ \)種でも頻出の内容なので確実に正答しておきたい問題となります。ベクトルオペレータを使わなくても解くことは可能ですが，ベクトルオペレータは便利な演算子なので，ここで覚えておくことをおすすめします。

1.ベクトルオペレータ\( \ a \ \)
ベクトルオペレータとは，\( \ a=\mathrm {e}^{\mathrm {j}\frac {2\pi}{3}} \ \)で定義される演算子であり，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \frac {2\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {2\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}+\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{2} &=& \cos \frac {4\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {4\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& -\frac {1}{2}-\mathrm {j}\frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] a^{3} &=& \cos \frac {6\pi}{3}+\mathrm {j}\sin \frac {6\pi}{3} \\[ 5pt ] &=& 1 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] という関係があります。

2.複素平面における複素数の表記方法
図1のような複素空間上の値\( \ \dot Z =R+\mathrm {j}X \ \)において，以下のような表記方法が定義されます。
ただし，\( \ \dot Z \ \)の絶対値\( \ \left| \dot Z\right| = \sqrt {R^{2}+X^{2}} \ \)，\( \ \dot Z \ \)と実軸となす角を\( \ \theta \ \)とします。

①直交座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \left( \cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

②指数表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| \mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ただし，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta }&=&\cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，これをオイラーの公式といいます。

③極座標表記
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&\left| \dot Z\right| ∠\theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(1)解答：ル
\( \ \displaystyle k= \frac {1}{2} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
20k &=&20\times \frac {1}{2} \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] 20\left( 1-k\right) &=&20\times \left( 1-\frac {1}{2}\right) \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，回路図は図2のようになり，三相平衡回路であるから，一相分等価回路は図3のようになる。よって，電流計の指示値\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {E}{10} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {200}{\sqrt {3}}}{10} \\[ 5pt ] &=&\frac {20}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヘ
(1)解答式より，負荷の全電力\( \ P_{1} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{1} &=&3\times 10{I_{1}}^{2} \\[ 5pt ] &=&3\times 10\times \left( \frac {20}{\sqrt {3}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&4 \ 000 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ト
\( \ k= 1 \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
20k &=&20\times 1 \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] 20\left( 1-k\right) &=&20\times \left( 1-1\right) \\[ 5pt ] &=&0 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，回路図は図4のようになる。図4の\( \ \mathrm {n} \ \)に流入する電流の合計は零であるから，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{a}+{\dot I}_{b}+{\dot I}_{c} &=&0　　・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，図5に示す二つの閉回路を用いて各電流値を表すと，ベクトルオペレータを用いて\( \ {\dot E}_{ab}=200 \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{bc}=200a^{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，\( \ {\dot E}_{ca}=200a \ \mathrm {[V]} \ \)であることに注意すれば，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{ab} &=&20{\dot I}_{a} \\[ 5pt ] 200&=&20{\dot I}_{a} \\[ 5pt ] {\dot I}_{a}&=&10 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] {\dot E}_{bc} &=&-10{\dot I}_{c} \\[ 5pt ] 200a^{2} &=&-10{\dot I}_{c} \\[ 5pt ] {\dot I}_{c}&=&-20a^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを①に代入して整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{a}+{\dot I}_{b}+{\dot I}_{c} &=&0 \\[ 5pt ] 10+{\dot I}_{b}-20a^{2} &=&0 \\[ 5pt ] {\dot I}_{b} &=&20a^{2}-10 \\[ 5pt ] &=&20\times \frac {-1-\mathrm {j}\sqrt {3}}{2}-10 \\[ 5pt ] &=&-20-\mathrm {j}10\sqrt {3} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，その大きさ\( \ I_{b} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{b}&=&\sqrt {20^{2}+\left( 10\sqrt {3}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {400+300} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {700} \\[ 5pt ] &=&10\sqrt {7} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：カ
ベクトルオペレータはいずれも大きさ\( \ 1 \ \)であることに注意すれば，
\[
\begin{eqnarray}
I_{a}&=&10 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] I_{c}&=&20 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，負荷の全電力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2} &=&20{I_{a}}^{2}+10{I_{c}}^{2} \\[ 5pt ] &=&20\times 10^{2}+10\times 20^{2} \\[ 5pt ] &=&6 \ 000 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヌ
(1)及び(4)より，\( \ \mathrm {c} \ \)相の電流計の指示値の\( \ k=1 \ \)の場合の\( \ \displaystyle k= \frac {1}{2} \ \)の場合に対する大きさは，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {I_{c}}{I_{1}} &=&\frac {20}{\displaystyle \frac {20}{\sqrt {3}}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。