《理論》〈電気及び電子計測〉[H20:問6]電圧計及び電流計による電力測定の誤差率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，直流電力の測定誤差に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図1及び図2は，直流電圧源\( \ E \ \)，内部抵抗\( \ R_{p} \ \)の直流電圧計\( \ \Large{Ⓥ} \ \)及び内部抵抗\( \ R_{c} \ \)の直流電流計\( \ \Large{Ⓐ} \ \)を使用し，抵抗\( \ R \ \)で消費される直流電力を測定する回路である。

これらの図において，計器の内部抵抗を無視できない場合は，計器の読みから計算される直流電力の測定値には誤差が含まれる。これらの測定誤差を誤差率で表したい。ここで，直流電圧計及び直流電流計の読みは\( \ V_{m} \ \)及び\( \ I_{m} \ \)で あり，誤差率\( \ \varepsilon \ \)は\( \ \displaystyle \frac {測定值-真值}{真值} \ \)で求められる。ただし，真値は\( \ R \ \)でのみ消費される直流電力であり，図1において\( \ R \ \)と\( \ V_{m} \ \)で，図2において\( \ R \ \)と\( \ I_{m} \ \)で求められるものとする。

図1においては，直流電力の測定値\( \ P_{m} \ \)は直流電圧計の内部抵抗を用いると\( \ P_{m}=V_{m}I_{m}= \ \fbox {　 （１） 　} \ \)で表され，誤差率\( \ \varepsilon _{a} \ \)は\( \ \fbox {　 （２） 　} \ \)となる。また，図2においては，直流電力の測定値\( \ P_{m} \ \)，は直流電流計の内部抵抗を用いると\( \ P_{m}=V_{m}I_{m}= \ \fbox {　 （３） 　} \ \)で表され，誤差率\( \ \varepsilon _{b} \ \)は\( \ \fbox {　 （４） 　} \ \)となる。ここで，\( \ R_{p} \ \)が\( \ 10 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)，\( \ R_{c} \ \)が\( \ 2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \)が\( \ 100 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の場合において，\( \ \varepsilon _{a} \ \)と\( \ \varepsilon _{b} \ \)の関係は\( \ \fbox {　 （５） 　} \ \)となる。

〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　{I_{m}}^{2}R　　　　　&（ロ）&　\frac {{V_{m}}^{2}}{R_{p}}　　　　　&（ハ）&　\frac {{V_{m}}^{2}}{R} \\[ 5pt ] &（ニ）&　{V_{m}}^{2}\left( \frac {R+R_{p}}{RR_{p}}\right)　　　　　&（ホ）&　\frac {1}{R_{c}}　　　　　&（ヘ）&　\varepsilon _{a}＞\varepsilon _{b} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {R}{R_{c}}　　　　　&（チ）&　{I_{m}}^{2}\left( R+R_{c}+R_{p}\right)　　　　　&（リ）&　\frac {R_{c}}{R} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\varepsilon _{a}=\varepsilon _{b}　　　　　&（ル）&　\frac {1}{R_{p}}　　　　　&（ヲ）&　\frac {R_{p}}{R} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\varepsilon _{a}＜\varepsilon _{b}　　　　　&（カ）&　\frac {R}{R_{p}}　　　　　&（ヨ）&　{I_{m}}^{2}\left( R+R_{c}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

直流電力の測定における誤差率を考える問題です。
(1)と(3)の空欄であるそれぞれの測定値を求める部分が肝となるので，点数差が非常に広がりやすい問題です。
最初は頭が混乱するかもしれませんが，慣れの部分が大きい問題なので平成30年理論科目問8や3種令和5年下期理論科目問16等様々な類題をこなして，考え方のコツを身につけるようにして下さい。

1.誤差及び誤差率の定義
真値を\( \ T \ \)，測定値を\( \ M \ \)とすると，誤差\( \ \varepsilon \ \)と誤差率\( \ ％\varepsilon \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&M-T \\[ 5pt ] ％\varepsilon &=&\frac {M-T}{T} \times 100 \ [％] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ニ
図1-1に示すように，電圧計に流れる電流\( \ I_{p} \ \)，抵抗\( \ R \ \)に流れる電流\( \ I_{R} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{p} &=&\frac {V_{m}}{R_{p}} \\[ 5pt ] I_{R} &=&\frac {V_{m}}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，電流計に流れる電流\( \ I_{m} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{m} &=&I_{p}+I_{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{m}}{R_{p}}+\frac {V_{m}}{R} \\[ 5pt ] &=&V_{m}\left( \frac {1}{R_{p}}+\frac {1}{R}\right) \\[ 5pt ] &=&V_{m}\left( \frac {R+R_{p}}{RR_{p}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，直流電力の測定値\( \ P_{m} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{m} &=&V_{m}I_{m} \\[ 5pt ] &=&V_{m}\times V_{m}\left( \frac {R+R_{p}}{RR_{p}}\right) \\[ 5pt ] &=&{V_{m}}^{2}\left( \frac {R+R_{p}}{RR_{p}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：カ
図1-1における真値\( \ P_{t} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{t} &=&V_{m}I_{R} \\[ 5pt ] &=&V_{m}\times \frac {V_{m}}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {{V_{m}}^{2}}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，誤差率\( \ \varepsilon _{a} \ \)は，ワンポイント解説「1.誤差及び誤差率の定義」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{a} &=&\frac {P_{m}-P_{t}}{P_{t}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle {V_{m}}^{2}\left( \frac {R+R_{p}}{RR_{p}}\right)-\frac {{V_{m}}^{2}}{R}}{\displaystyle \frac {{V_{m}}^{2}}{R}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R+R_{p}}{R_{p}}-1 \\[ 5pt ] &=&\frac {R}{R_{p}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：ヨ
図2-1に示すように，電流計に加わる電圧\( \ V_{c} \ \)，抵抗\( \ R \ \)に加わる電圧\( \ V_{R} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{c} &=&R_{c}I_{m} \\[ 5pt ] V_{R} &=&RI_{m} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，電圧計に加わる電圧\( \ V_{m} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{m} &=&V_{c}+V_{R} \\[ 5pt ] &=&R_{c}I_{m}+RI_{m} \\[ 5pt ] &=&I_{m}\left( R_{c}+R\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，直流電力の測定値\( \ P_{m} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{m} &=&V_{m}I_{m} \\[ 5pt ] &=&I_{m}\left( R_{c}+R\right) \times I_{m} \\[ 5pt ] &=&{I_{m}}^{2}\left( R_{c}+R\right) \\[ 5pt ] &=&{I_{m}}^{2}\left( R+R_{c}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：リ
図2-1における真値\( \ P_{t} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{t} &=&V_{R}I_{m} \\[ 5pt ] &=&RI_{m}\times I_{m} \\[ 5pt ] &=&R{I_{m}}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，誤差率\( \ \varepsilon _{b} \ \)は，ワンポイント解説「1.誤差及び誤差率の定義」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{b} &=&\frac {P_{m}-P_{t}}{P_{t}} \\[ 5pt ] &=&\frac {{I_{m}}^{2}\left( R+R_{c}\right)-R{I_{m}}^{2}}{R{I_{m}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\left( R+R_{c}\right)-R}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{c}}{R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ワ
\( \ R_{p}=10 \ \mathrm {[k\Omega ]} \ \)，\( \ R_{c}=2 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R=100 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を代入すると，誤差率\( \ \varepsilon _{a} \ \)及び\( \ \varepsilon _{b} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon _{a} &=&\frac {R}{R_{p}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{10\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &=&0.01 \\[ 5pt ] \varepsilon _{b} &=&\frac {R_{c}}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {2}{100} \\[ 5pt ] &=&0.02 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] なので，\( \ \varepsilon _{a}＜\varepsilon _{b} \ \)と求められる。