《理論》〈電気回路〉[H29:問5]直流回路に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

次の文章は,直流回路に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図1に示す直流回路において,電圧\( \ E \ \)及び抵抗\( \ R_{1} \ \),\( \ R_{2} \ \)の値は固定とし,抵抗\( \ R \ \)の値は可変とする。このとき,抵抗\( \ R \ \)で消費される最大電力の値を求める。
図1の端子\( \ \mathrm {a}-\mathrm {b} \ \)から左側の部分を,一つの電圧源と一つの抵抗を用いて等価回路に置き換えると,図2になる。ただし,\( \ V_{0} \ \),\( \ R_{0} \ \)は,図1の電圧\( \ E \ \)及び抵抗\( \ R_{1} \ \),\( \ R_{2} \ \)を用いて,\( \ V_{0}=\fbox {  (1)  } \ \),\( \ R_{0}=\fbox {  (2)  } \ \)と表される。
図2において,抵抗\( \ R \ \)で消費される電力\( \ P \ \)を\( \ V_{0} \ \),\( \ R_{0} \ \),\( \ R \ \)を用いて表せば,\( \ P=\fbox {  (3)  } \ \)となる。\( \ P \ \)が最大となる条件を\( \ V_{0} \ \),\( \ R_{0} \ \),\( \ R \ \)を用いて表せば,\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R}=\fbox {  (4)  }=0 \ \)となる。
したがって,抵抗\( \ R \ \)で消費される最大電力\( \ P_{\mathrm {max}} \ \)は,図1の電圧\( \ E \ \)及び抵抗\( \ R_{1} \ \),\( \ R_{2} \ \)を用いて,\( \ P_{\mathrm {max}}=\fbox {  (5)  } \ \)となる。


〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& E   &(ロ)& R_{1}   &(ハ)& \frac {V_{0}}{R_{0}} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {R_{2}E}{R_{1}+R_{2}}   &(ホ)& R_{1}+R_{2}   &(ヘ)& \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {R_{1}E}{R_{1}+R_{2}}   &(チ)& \frac {E^{2}}{4\left( R_{1}+R_{2}\right) }   &(リ)& \frac {\left( R_{0}-R \right) V_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {\left( R_{0}+R \right) V_{0}^{2}}{\left( R_{0}-R\right) ^{3}}   &(ル)& \frac {\left( R-R_{0} \right) V_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{3}}   &(ヲ)& \frac {R_{0}V_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {RV_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{2}}   &(カ)& \frac {R_{1}E^{2}}{4R_{2}\left( R_{1}+R_{2}\right) }   &(ヨ)& \frac {R_{2}E^{2}}{4R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) }
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

テブナンの定理を用いる必要があるのと,分数の微分の公式を覚えていないと解けません。テブナンの定理は覚えにくい公式の一つですが,頻出の公式となりますので,よく抑えておく必要があります。類題は電験一種や三種でもよくあるので,慣れると\(R=R_{0}\)の時最大となることが予想できるようになります。オームの法則以外では,本問では以下の公式を使用します。

1.テブナンの定理
 図1において回路中の\( \ 2 \ \)端子の電圧を\( \ V_{0} \ \),電圧源を短絡し,電流源を開放した時の端子から見た合成抵抗を\( \ R_{0} \ \)とした時,外部抵抗\( \ R \ \)とした時,抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I \ \)は,下式の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V_{0}}{R+R_{0}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]  注意:図1の電圧源\( \ E \ \)を短絡した回路では,\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)それぞれの両端の電圧が等しくなるので,回路は並列になります。

2.抵抗で消費される電力
抵抗\( \ R \ \)に電流\( \ I \ \)が流れている時の消費電力\( \ P \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P&=&RI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.分数の微分
\( \ \displaystyle P\left( R\right)=\frac {u\left( R\right)}{v\left( R\right)} \ \)とするとき,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R}&=&\frac {u’v-uv’}{v^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【関連する「電気の神髄」記事】

  鳳・テブナンの定理の証明

【解答】

(1)解答:ニ
\( \ V_{0} \ \)は\( \ E \ \)の\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)の分圧であるから,
\[
\begin{eqnarray}
V_{0}&=&\frac {R_{2}E}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答:ヘ
テブナンの定理より,\( \ R_{0} \ \)は\( \ E \ \)を短絡した時の合成抵抗であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R_{0}}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
R_{0}&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ワ
図2において,抵抗\( \ R \ \)に流れる電流\( \ I \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {V_{0}}{R_{0}+R} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,抵抗\( \ R \ \)で消費される電力\( \ P \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=& RI^{2} \\[ 5pt ] &=& R\left( \frac {V_{0}}{R_{0}+R}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=& \frac {RV_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{2}}
\end{eqnarray}
\] となる。

(4)解答:リ
ワンポイント解説の「3.分数の微分」より,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R} &=& \frac {V_{0}^{2}\left( R_{0}+R\right) ^{2}-RV_{0}^{2}\cdot 2\left( R_{0}+R\right)}{\left( R_{0}+R\right) ^{4}} \\[ 5pt ] &=& \frac {V_{0}^{2}\left( R_{0}+R\right) -2RV_{0}^{2} }{\left( R_{0}+R\right) ^{3}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\left( R_{0}-R \right) V_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R\right) ^{3}}
\end{eqnarray}
\] となる。

(5)解答:ヨ
\(\displaystyle \frac {\mathrm {d}P}{\mathrm {d}R}=0\)となる\( \ R \ \)は\( \ R=R_{0} \ \)の時であるから,これを(3)の解答式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {max}} &=& \frac {R_{0}V_{0}^{2}}{\left( R_{0}+R_{0}\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{0}V_{0}^{2}}{4R_{0}^{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {V_{0}^{2}}{4R_{0}}
\end{eqnarray}
\] となる。さらに上式に\( \ \displaystyle V_{0}=\frac {R_{2}E}{R_{1}+R_{2}} \ \),\( \ \displaystyle R_{0}=\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \ \)を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {max}} &=& \frac {\displaystyle \left( \frac {R_{2}E}{R_{1}+R_{2}}\right) ^{2}}{\displaystyle 4\left( \frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\right) } \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{2}E^{2}}{4R_{1}\left( R_{1}+R_{2}\right) }
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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