《理論》〈電気及び電子計測〉[H22:問4]ヘイブリッジ回路を使用した周波数の特定に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，ヘイブリッジに関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切な式を解答群の中から選びなさい。

図において，交流電源の電圧を\( \ \dot E \ \), その角周波数を\( \ \omega \left( \omega =2\pi f \right) \ \)とし，\( \ R_{2} \ \)，\( \ R_{3} \ \)及び\( \ R_{4} \ \)は既知の抵抗，\( \ C \ \)は既知の静電容量，\( \ \Large {Ⓖ} \ \)は検出器であるとする。いま，角周波数\( \ \omega \ \)が既知であり，インダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)が未知の場合を考える。検出器\( \ \Large {Ⓖ} \ \)の指示が零となりブリッジが平衡しているとすれば，平衡条件式の実数部より\( \ \displaystyle \frac {L}{C}= \ \fbox {　 （１） 　} \ \)，虚数部より\( \ \displaystyle \omega ^{2}= \ \fbox {　 （２） 　} \ \)が成立する。

したがって，未知のインダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)はそれぞれ，\( \ L= \ \fbox {　 （３） 　} \ \)，\( \ R_{1}= \ \fbox {　 （４） 　} \ \)で求められる。

次に，ブリッジの各素子\( \ R_{2} \ \)，\( \ R_{3} \ \)，\( \ R_{4} \ \)，\( \ C \ \)及びインダクタンス\( \ L \ \)とその抵抗\( \ R_{1} \ \)が既知であり，角周波数\( \ \omega \ \)が未知である場合を考える。平衡条件式の虚数部に着目し，ブリッジに接続された交流電源の周波数\( \ f \ \)を求めれば，\( \ f= \ \fbox {　 （５） 　} \ \)となる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　CLR_{1}R_{4}　　　　　&（ロ）&　\frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}}　　　　　&（ハ）&　R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {CR_{2}R_{3}}{1-\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}　　　　　&（ホ）&　\frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1-\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {\sqrt {R_{1}}}{2\pi \sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ] &（ト）&　\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}　　　　　&（チ）&　\frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}　　　　　&（リ）&　2\pi \sqrt {CL} \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {R_{4}}{CLR_{1}}　　　　　&（ル）&　CR_{2}R_{3}　　　　&（ヲ）&　R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}　　　　　&（カ）&　R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3}　　　　&（ヨ）&　\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

ヘイブリッジに関する問題です。
インダクタンスやコンデンサを問題図のように接続した回路で，主に周波数やインダクタンスを求めるために用いられる回路です。
名称を初めて聞く方もいらっしゃると思いますが，解き方は普通の交流ブリッジ回路と同じですので，安心して取り組んで頂ければと思います。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，角周波数が\( \ \omega \ \mathrm {[rad/s]} \ \)であるとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.交流ブリッジ回路の平衡条件
図4の回路において，検流計Ⓓに電流が流れないようにしたとき，各インピーダンスの関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{1}{\dot Z}_{4}&=&{\dot Z}_{2}{\dot Z}_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ハ
問題図のブリッジ回路の平衡条件は，ワンポイント解説「2.交流ブリッジ回路の平衡条件」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{1}+\mathrm {j}\omega L\right) \left( R_{4}+\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}\right) &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] R_{1}R_{4}+\frac {R_{1}}{\mathrm {j}\omega C}+\mathrm {j}\omega LR_{4}+\frac {L}{C} &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}-\mathrm {j}\frac {R_{1}}{\omega C}+\mathrm {j}\omega LR_{4} &=&R_{2}R_{3}　\left( ∵\frac {1}{\mathrm {j}}=\frac {1}{\mathrm {j}}\times \frac {\mathrm {j}}{\mathrm {j}}=-\mathrm {j}\right) \\[ 5pt ] R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}+\mathrm {j}\left( \omega LR_{4}-\frac {R_{1}}{\omega C}\right) &=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，左辺右辺の実部を比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}R_{4}+\frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] \frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ヨ
(1)で求めたブリッジの平衡条件の式の虚部について比較すると，
\[
\begin{eqnarray}
\omega LR_{4}-\frac {R_{1}}{\omega C}&=&0 \\[ 5pt ] \omega LR_{4}&=&\frac {R_{1}}{\omega C} \\[ 5pt ] \omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：チ
題意より，\( \ L \ \)と\( \ R_{1} \ \)が未知なので，(1)及び(2)の解答式を\( \ L \ \)と\( \ R_{1} \ \)の連立方程式として考える。(2)解答式を\( \ R_{1} \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ] R_{1}&=&\omega ^{2}CLR_{4} 　　・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，これを(1)解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {L}{C}&=&R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4} \\[ 5pt ] &=&R_{2}R_{3}-\omega ^{2}CLR_{4}\cdot R_{4} \\[ 5pt ] &=&R_{2}R_{3}-\omega ^{2}CL{R_{4}}^{2} \\[ 5pt ] L&=&CR_{2}R_{3}-\omega ^{2}C^{2}L{R_{4}}^{2} \\[ 5pt ] L+\omega ^{2}C^{2}L{R_{4}}^{2}&=&CR_{2}R_{3} \\[ 5pt ] L\left( 1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}\right) &=&CR_{2}R_{3} \\[ 5pt ] L&=&\frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ワ
①式に(3)解答式を代入すれば，
\[
\begin{eqnarray}
R_{1}&=&\omega ^{2}CLR_{4} \\[ 5pt ] &=&\omega ^{2}C\cdot \frac {CR_{2}R_{3}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}}\cdot R_{4} \\[ 5pt ] &=&\frac {\omega ^{2}C^{2}R_{2}R_{3}R_{4}}{1+\omega ^{2}C^{2}{R_{4}}^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ヘ
(2)解答式より，
\[
\begin{eqnarray}
\omega ^{2}&=&\frac {R_{1}}{CLR_{4}} \\[ 5pt ] \omega &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ] 2\pi f &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{\sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ] f &=&\frac {\sqrt {R_{1}}}{2\pi \sqrt {CLR_{4}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。