《理論》〈電磁気〉[H25:問1]平行平板コンデンサに関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
- 2.1 【関連する「電気の神髄」記事】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，平行平板コンデンサに関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまるものを解答群の中から選びなさい。

図のように，真空中において，電圧が$ \ E \ $の電圧源に平行平板コンデンサが接続されている（図は横から見た図である）。このコンデンサの各極板は一辺の長さが$ \ a \ $の正方形の導体平板であり，その極板間の距離は$ \ d \ $である。また，極板間には，極板と同形で厚さ$ \ d \ $，比誘電率が$ \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ $の誘電体が極板に平行に入っている。また，真空の誘電率を$ \ \varepsilon _{0} \ $とし，端効果はないものとする。

このコンデンサの静電容量は，$ \ \fbox {　（１）　} \ $であり，コンデンサに蓄えられたエネルギーは，$ \ \fbox {　（２）　} \ $である。

ここで，外力を与えて誘電体をゆっくりと取り出すと，電源との電荷のやり取りがある一方，電圧は一定である。誘電体を完全に取り出したときに電源に移動した電荷は$ \ \fbox {　（３）　} \ $で，電源に向かって供給されたエネルギーは，$ \ \fbox {　（４）　} \ $である。また，外力がした仕事量は，$ \ \fbox {　（５）　} \ $である。

〔問1の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}　　　&（ロ）&　\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}　　　&（ハ）&　\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{2}}{d} \\[ 5pt ] &（ニ）&　\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{3}}{d^{2}}　　　&（ホ）&　\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}}a^{2}}{d}E^{2}　　　&（ヘ）&　\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}　　&（チ）&　\frac {3}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2}　　　　&（リ）&　\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}E^{2}　　　&（ル）&　\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}^{2}-1\right) a^{2}}{d}E　　　&（ヲ）&　\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) ^{2}a^{2}}{d}E^{2}　　　&（カ）&　\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d}E^{2}　　　&（ヨ）&　0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

三種から定番となっている平行平板コンデンサの問題です。それほど難易度は高くないですが，似たような選択肢が多いので，読み間違えないように慎重に解いて行く必要があると思います。

1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷$ \ Q \ $
静電容量$ \ C \ $のコンデンサに電圧$ \ V \ $をかけ十分に時間が経った時に各極板に現れる電荷$ \ Q \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.平行平板コンデンサの静電容量$ \ C \ $
極板間の誘電率$ \ \varepsilon \ $，各極板の面積$ \ S \ $，極板間の距離$ \ d \ $とすると，このコンデンサの静電容量$ \ C \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，極板間に比誘電率$ \ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ $の誘電体を挿入すると，極板間の誘電率$ \ \varepsilon \ $は，真空の誘電率$ \ \varepsilon _{0} \ $を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
\varepsilon &=&\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

3.コンデンサの静電エネルギー$ \ W \ $
静電容量$ \ C \ $のコンデンサに電圧$ \ V \ $をかけた時にコンデンサに蓄えられる静電エネルギー$ \ W \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，「1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷$ \ Q \ $」の関係式を用いると，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【関連する「電気の神髄」記事】

　　平行平板コンデンサの静電容量まとめ

【解答】

(1)解答：ハ
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量$ \ C \ $」の通り，極板間の誘電率$ \ \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r}}\varepsilon _{0} \ $，各極板の面積$ \ S=a^{2} \ $であるから，静電容量$ \ C \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
C&=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ホ
ワンポイント解説「3.コンデンサの静電エネルギー$ \ W \ $」の通り，コンデンサに蓄えられたエネルギー$ \ W \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}CE^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：リ
誘電体を取り出した後の静電容量$ \ C^{\prime } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
C^{\prime }&=&\frac {\varepsilon _{0}a^{2}}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，誘電体を取り出す前後のコンデンサの電荷量を$ \ Q \ $及び$ \ Q^{\prime } \ $とすると，ワンポイント解説「1.平行平板コンデンサの極板間に現れる電荷$ \ Q \ $」より，
\[
\begin{eqnarray}
Q&=&CE \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] Q^{\prime }&=&C^{\prime }E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，誘電体を取り出す前後に移動した電荷量$ \ \Delta Q \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta Q &=&Q-Q^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d} E-\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d} E\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1 \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：イ
電源に向かって供給されたエネルギーを$ \ \Delta U \ $とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=&E\cdot \Delta Q \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta U &=&E\cdot \frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ロ
誘電体を取り出した後のコンデンサの静電エネルギー$ \ W^{\prime } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W^{\prime }&=&\frac {1}{2}C^{\prime }E^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，外力がした仕事量$ \ W^{\prime \prime } \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
W^{\prime \prime } &=&W-W^{\prime } \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r}} a^{2}}{d}E^{2}-\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0} a^{2}}{d}E^{2}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1 \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\frac {\varepsilon _{0}\left( \varepsilon _{\mathrm {r}}-1\right) a^{2}}{d}E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。