《理論》〈電気回路〉[H27:問2]交流回路の電流及び電圧の計算方法に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,交流回路の電流及び電圧の計算方法に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図の回路において,重ね合わせの理(重ねの理)を用いて,抵抗に流れる電流\( \ i_{\mathrm {R}}(t) \ \),キャパシタの両端の電圧\( \ v_{\mathrm {C}}(t) \ \)を求めたい。

ただし,交流電圧源\( \ e(t)=E_{\mathrm {m}}\cos \omega _{1} t \ \),交流電流源\( \ i(t)=I_{\mathrm {m}}\sin \omega _{2} t \ \)とする。

抵抗に流れる電流\( \ i_{\mathrm {R}}(t) \ \)は,電流の向きを考えると,
\[
i_{\mathrm {R}}(t)=I_{\mathrm {e}}\cos (\omega _{1}t+\varphi _{\mathrm {e}})-I_{\mathrm {i}}\sin (\omega _{2}t+\varphi _{\mathrm {i}})
\] と表すことが出来る。電圧源のみで考えると,\( \ I_{\mathrm {e}}=\fbox {  (1)  } \ \),電流源のみで考えると\( \ I_{\mathrm {i}}=\fbox {  (2)  } \ \)となる。

同様に,キャパシタの両端の電圧\( \ v_{\mathrm {C}}(t) \ \)を,電圧源,電流源それぞれについて求めると,
\[
v_{\mathrm {C}}(t)=V_{\mathrm {e}}\cos (\omega _{1}t+\phi _{\mathrm {e}})+V_{\mathrm {i}}\sin (\omega _{2}t+\phi _{\mathrm {i}})
\] と表すことができる。ここで,\( \ \displaystyle -\frac {\pi }{2} < \phi _{\mathrm {e}} < \frac {\pi }{2} \ \)とする。

このとき,\( \ V_{\mathrm {e}}=\fbox {  (3)  } \ \),\( \ \phi _{\mathrm {e}}=\fbox {  (4)  } \ \),\( \ V_{\mathrm {i}}=\fbox {  (5)  } \ \)となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{1}CR}   &(ロ)& \frac {\omega _{2}CRI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}   &(ハ)& \frac {\pi }{2}-\tan ^{-1}\omega _{1}CR \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {RI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}   &(ホ)& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}   &(ヘ)& \omega _{1}CE_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{R}   &(チ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}    &(リ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\omega _{2}C} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{2}CR}   &(ル)& -\tan ^{-1}\frac {1}{\omega _{1}CR}   &(ヲ)& \frac {RI_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{2}CR} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}   &(カ)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{1}CR}   &(ヨ)& -\tan ^{-1}\omega _{1}CR
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

重ね合わせの理を用いて解く問題です。重ね合わせの理は3種の頃からよく出題されていた問題であると思います。2種になると内容は少し高度になりますが,考え方は同じです。確実に使いこなせるようにしておきましょう。

1.重ね合わせの理(重ねの理)
複数の電源で構成された回路は,電源毎に計算した電流を重ね合わせて求めることができます。この時,電圧源は短絡,電流源は開放します。問題に対する回路は図1のようになります。

【関連する「電気の神髄」記事】

  重ね合わせの理の証明

【解答】

(1)解答:ホ
図1の左図より,電圧源から\( \ E_{\mathrm {m}} \ \)の電圧がかかった時の\( \ {\dot I}_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {e}} &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{1}C}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\mathrm {j}\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ I_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {e}} &=& \left| \frac {\mathrm {j}\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:チ
図1の右図より,電流源から\( \ I_{\mathrm {m}} \ \)の電流が流れた時の\( \ {\dot I}_{\mathrm {i}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {i}} &=& \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{2}C}}{R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{2}C}}I_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{2}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ I_{\mathrm {i}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {i}} &=& \left| \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{2}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ワ
電圧源から\( \ E_{\mathrm {m}} \ \)の電圧がかかった時のキャパシタの電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {e}} &=& \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{1}C}}{R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{1}C}}E_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ V_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {e}} &=& \left| \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヨ
(3)より,\( \ {\dot V}_{\mathrm {e}} \ \)を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {e}} &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}(1-\mathrm {j}\omega _{1}CR)
\end{eqnarray}
\] となるので,\( \ \phi _{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{\mathrm {e}} &=& \tan ^{-1} \frac {-\omega _{1}CR}{1} \\[ 5pt ] &=&-\tan ^{-1} \omega _{1}CR
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ニ
図1右図より,電流源から\( \ I_{\mathrm {m}} \ \)の電流が流れた時のキャパシタに現れる電圧\( \ V_{\mathrm {i}} \ \)は抵抗に現れる電圧と等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {i}} &=& RI_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] &=& R\cdot \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {RI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。



記事下のシェアタイトル