《理論》〈電子理論〉[H28:問4] 半導体の電気伝導に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，半導体内の電気伝導に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。なお，電子の電荷量(絶対値)を$ \ e \ $とする。

断面積が$ \ S \ $，長さが$ \ l \ $の円柱の$ \ \mathrm {n} \ $形半導体の両端に，大きさが$ \ V \ $の直流電圧を加えた。電圧によって半導体中に一様な電界が生成されるとすると，その電界$ \ E \ $は，$ \ E= \ \fbox {　（１）　} \ $であり，電子は力$ \ F= \ \fbox {　（２）　} \ $で加速される。電子の有効質量を$ \ m^{*} \ $とすると，電子の加速度は$ \ \fbox {　（３）　} \ $となるが，散乱を考えると，電子の速度は最終的に電界に比例する平均速度$ \ v \ $となる。$ \ v \ $と電界の関係は，移動度$ \ \mu \ $を用いて$ \ v=\mu E \ $と表される。
半導体中の電子濃度を$ \ n \ $とすると，この半導体を流れる電流は，$ \ v \ $を用いて，$ \ I=\fbox {　（４）　} \ $と表せる。そこで，電圧$ \ V \ $と電流$ \ I \ $の関係は$ \ I= \ \fbox {　（５）　} \ $と表すことができる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {eV}{m^{*}}　　　&（ロ）&　\frac {\mu nV}{l}　　　&（ハ）&　eVl \\[ 5pt ] &（ニ）&　evnS　　　&（ホ）&　vnS　　　&（ヘ）&　\frac {e\mu nVS}{l} \\[ 5pt ] &（ト）&　eVm^{*}　　　&（チ）&　\frac {e\mu nV}{l} 　　　&（リ）&　eE \\[ 5pt ] &（ヌ）&　\frac {eE}{m^{*}} 　　　&（ル）&　evn　　　&（ヲ）&　\frac {V}{l}　 \\[ 5pt ] &（ワ）&　Vl　　　&（カ）&　eV　　　&（ヨ）&　\frac {V}{S}
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

真空電子理論の公式をきちんと理解していれば，難なく解けると思いますが，(4)の電流密度$ \ J \ $と電流$ \ I \ $を間違えると(5)も間違えてしまうため，注意が必要です。

1.半導体中の電流$ \ I \ $と電流密度$ \ J \ $
断面積$ \ S \ $の半導体に一様に電流が流れるとします。
半導体中の電子の電荷を$ \ e \ $，電子濃度を$ \ n \ $，平均速度を$ \ v \ $とすると，電流密度$ \ J \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
J&=&evn \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，電流$ \ I \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& JS \\[ 5pt ] &=& evnS \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：ヲ
問題文の内容を整理すると，図1のようになる。

半導体中の電界は一様であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(2)解答：リ
電子の電荷量が$ \ e \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&eE \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(3)解答：ヌ
運動方程式より加速度を$ \ a \ $とすると，$ \ F=m^{*}a \ $の関係があるから，
\[
\begin{eqnarray}
a &=& \frac {F}{m^{*}} \\[ 5pt ] &=& \frac {eE}{m^{*}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(4)解答：ニ
半導体中の電流を$ \ I \ $とすると，ワンポイント解説の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&evnS \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

(5)解答：ヘ
$ \ v=\mu E \ $，$ \ \displaystyle E=\frac {V}{l} \ $であるから，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& evnS \\[ 5pt ] &=& e\mu EnS \\[ 5pt ] &=& \frac {e\mu nVS}{l}
\end{eqnarray}
\] と求められる。