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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
次の文章は，電気回路の過渡現象に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
図のように，電圧が\( \ E \ \)の電圧源と内部抵抗\( \ r \ \)との直列接続で表される電源が，スイッチ\( \ S \ \)を介してインダクタンス\( \ L \ \)のコイルと抵抗\( \ R \ \)からなる負荷に接続されている。ただし，\( \ R > r \ \)であるとする。最初にスイッチ\( \ S \ \)は開いており，回路のどこにも電流は流れていなかった。時刻\( \ t=0 \ \)でスイッチを閉じた。
\( \ t≧0 \ \)における電流を\( \ i\left( t\right) \ \)とするとき，コイルの端子電圧\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \)は\( \ \fbox { （１） } \ \)となるので，\( \ i\left( t\right) =\fbox { （２） } \ \)と計算できる。また，電源，抵抗，コイルの各端子電圧，\( \ v_{\mathrm {S}}\left( t\right) \ \)，\( \ v_{\mathrm {R}}\left( t\right) \ \)，\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \) の時間的変化を表す図はそれぞれ\( \ \fbox { （３） } \ \)，\( \ \fbox { （４） } \ \)，\( \ \fbox { （５） } \ \)である。
〔問6の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& Li\left( t\right) &（ロ）& \frac{1}{L}\int ^{t}_{0}i\left( \tau \right) \mathrm {d}\tau &（ハ）& \frac {E\left( R+r\right) }{Rr}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {Rr}{L\left( R+r\right) }t} \right) \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {E}{R}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R}{L}t}\right) &（ホ）& L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right)}{\mathrm {d}t} &（ヘ）& \frac {E}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right)
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
過渡現象は電験二種で新たに出てくる内容です。微分方程式を解く必要があるため，最初は大変ですが慣れてしまえば解答パターンも決まっていて確実に点が取れる問題です。本問では以下の公式を使用します。
1.インダクタンスの電圧降下
直流回路におけるインダクタンス\( \ L \ \)の電圧降下\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \)は，下記の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {L}}\left( t\right)&=&L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
2.過渡現象における定常解と過渡解
ⅰ．定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，電流値\( \ i \ \)は\( \ i=i_{\mathrm {s}}+i_{\mathrm {t}} \ \)となります。
ⅱ．定常解は電流の時間変化のない状態すなわち\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)とした時の解です。
ⅲ．過渡解はスイッチを入れた直後の解すなわち\( \ L \ \)開放(\( \ E=0 \ \)と同義)の時の解です。
3.自然対数の微分積分
自然対数の微分積分は以下の通りとなります。
①自然対数の微分
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d}x} \ln {x}&=&\frac {1}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②自然対数の積分
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{x} \mathrm {d}x&=&\ln {x} + C \left( Cは積分定数\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【解答】
(1)解答：ホ
ワンポイント解説の「1.インダクタンスの電圧降下」より，直流回路におけるインダクタンス\( \ L \ \)の電圧降下\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \)は，下記の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {L}}\left( t\right)&=&L\frac {\mathrm {d}i\left( t\right)}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
(2)解答：ヘ
図の回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R+r\right) i\left( t\right) +L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t}&=&E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。まず定常解を\( \ i_{\mathrm {s}} \ \)とすると，\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {s}}}{\mathrm {d}t}=0 \ \)であるから，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R+r\right) i_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，
\[
\begin{eqnarray}
i_{\mathrm {s}}\left( t\right) &=&\frac {E}{R+r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。次に，過渡解を\( \ i_{\mathrm {t}} \ \)とすると，この時\( \ E=0 \ \)となるから，回路方程式は，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R+r\right) i_{\mathrm {t}}\left( t\right) +L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t}&=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。\( \ \mathrm {d}i_{\mathrm {t}} \ \)と\( \ \mathrm {d}t \ \)について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
L\frac {\mathrm {d}i_{\mathrm {t}}}{\mathrm {d}t} &=& -\left( R+r\right) i_{\mathrm {t}}\left( t\right) \\[ 5pt ]
\frac {1}{i_{\mathrm {t}}\left( t\right) }\mathrm {d}i_{\mathrm {t}} &=& -\frac{R+r}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
両辺積分すると，ワンポイント解説の「3.自然対数の微分積分」より，
\[
\begin{eqnarray}
\int \frac {1}{i_{\mathrm {t}}\left( t\right) }\mathrm {d}i_{\mathrm {t}} &=& \int -\frac{R+r}{L}\mathrm {d}t \\[ 5pt ]
\ln{i_{\mathrm {t}}\left( t\right) } &=& -\frac{R+r}{L}t +C (Cは積分定数) \\[ 5pt ]
i_{\mathrm {t}}\left( t\right) &=& A\mathrm {e}^{-\frac{R+r}{L}t }(Aは積分定数) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。電流値の一般解は\( \ i\left( t\right) =i_{\mathrm {s}}\left( t\right) +i_{\mathrm {t}}\left( t\right) \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
i\left( t\right) &=& i_{\mathrm {s}}\left( t\right) &+& i_{\mathrm {t}}\left( t\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {E}{R+r} &+& Ae^{-\frac{R+r}{L}t }
\end{eqnarray}
\]
となる。ここで，題意より\( \ i\left( 0\right) =0 \ \)であるから，\( \ A \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
0 &=& \frac {E}{R+r}+A\mathrm {e}^{-\frac{R+r}{L}\times 0 } \\[ 5pt ]
0 &=& \frac {E}{R+r}+A \\[ 5pt ]
A &=& -\frac {E}{R+r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，一般解は，
\[
\begin{eqnarray}
i\left( t\right) &=&\frac {E}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ル
(4)解答：チ
(5)解答：ヨ
(2)解答より\( \ v_{\mathrm {R}}\left( t\right)=Ri\left( t\right) \ \)，\( \ v_{\mathrm {L}}\left( t\right) =\displaystyle L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \ \)，\( \ v_{\mathrm {S}}\left( t\right) =v_{\mathrm {R}}\left( t\right) +v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \ \)の順に求める。
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {R}}\left( t\right) &=& Ri\left( t\right) \\[ 5pt ]
&=& R\frac {E}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right)
\end{eqnarray}
\]
となるから，これより，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {R}}\left( 0\right) &=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}0}\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-1\right) \\[ 5pt ]
&=& 0
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {R}}\left( \infty \right) &=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}\infty }\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-0\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}
\end{eqnarray}
\]
となり，グラフは(チ)となる。また，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {L}}\left( t\right) &=& L\frac {\mathrm {d}i}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ]
&=& L\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left[ \frac {E}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \right] \\[ 5pt ]
&=& \frac {LE}{R+r} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {LE}{R+r} \cdot \left( -\frac {R+r}{L}\right) \left( -\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) \\[ 5pt ]
&=& E\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}
\end{eqnarray}
\]
となるから，これより，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {L}}\left( 0\right) &=&E\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}0}=E \\[ 5pt ]
v_{\mathrm {L}}\left( \infty \right) &=&E\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}\infty }=0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，グラフは(ヨ)となる。さらに，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {S}}\left( t\right) &=& v_{\mathrm {R}}\left( t\right) +v_{\mathrm {L}}\left( t\right) \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}\left( 1-\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}\right) +E\mathrm {e}^{-\frac {R+r}{L}t}
\end{eqnarray}
\]
となるから，
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {S}}\left( 0\right) &=& v_{\mathrm {R}}\left( 0\right) +v_{\mathrm {L}}\left( 0\right) \\[ 5pt ]
&=&0 +E \\[ 5pt ]
&=& E
\end{eqnarray}
\]
\[
\begin{eqnarray}
v_{\mathrm {S}}\left( \infty \right) &=& v_{\mathrm {R}}\left( \infty \right) +v_{\mathrm {L}}\left( \infty \right) \\[ 5pt ]
&=&\frac {RE}{R+r} +0 \\[ 5pt ]
&=& \frac {RE}{R+r}
\end{eqnarray}
\]
となり，グラフは(ル)となる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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