《理論》〈電気回路〉[H30:問5]直流回路の重ね合わせの理を用いた電流の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆(易しい)

次の文章は,直流回路に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。

図のように電圧源\( \ E_{1} \ \),\( \ E_{2} \ \)及び抵抗からなる直流回路において,重ね合わせの理を用いて抵抗\( \ R=4 \ \Omega \ \)に流れる電流\( \ I \ \)を求めたい。ただし,電流は矢印の向きを正とする。

まず,電圧源\( \ E_{1} \ \)のみを考えたとき,抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I_{1} \ \)は\(\fbox {  (1)  }\)となる。次に,電圧源\( \ E_{2} \ \)のみを考えたとき,抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I_{2} \ \)は\(\fbox {  (2)  }\)となる。

したがって,すべての電圧源について考えると,抵抗抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I \ \)は,\( \ I=I_{1}+I_{2}=\fbox {  (3)  } \ \)となる。また,図の点\( \ \mathrm {a} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {a}} \ \)は\(\fbox {  (4)  }\)となる。

ここで,\( \ E_{1} \ \),\( \ E_{2} \ \)の関係が\( \ E_{2}=\fbox {  (5)  }\)となる場合において電流\( \ I \ \)は零となる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {3E_{1}+E_{2}}{3}   &(ロ)& -\frac {E_{1}}{2}   &(ハ)& \frac {E_{2}}{10} \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {E_{1}}{20}   &(ホ)& \frac {E_{1}+2E_{2}}{5}   &(ヘ)& \frac {E_{2}}{20} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{1}+2E_{2}}{20}   &(チ)& -2E_{1}    &(リ)& \frac {3E_{1}+E_{2}}{12} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {2E_{1}+E_{2}}{5}   &(ル)& \frac {E_{2}}{12}   &(ヲ)& \frac {E_{1}}{8} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {E_{1}}{10}   &(カ)& \frac {2E_{1}+E_{2}}{20}   &(ヨ)& -E_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

導出過程も問題文中に記述があり,重ね合わせの理は三種でも非常に良く出題された問題であるため,二種受験者であればかなりの方が完答できたと思われる問題です。計算間違いに注意して確実に解くようにして下さい。

1.重ね合わせの理(重ねの理)
複数の電源で構成された回路は,電源毎に計算した電流を重ね合わせて求めることができます。この時,電圧源は短絡,電流源は開放します。問題に対する回路は図1のようになります。

【解答】

(1)解答:ワ
ワンポイント解説「1.重ね合わせの理(重ねの理)」より,電圧源\( \ E_{1} \ \)のみを考えたとき,回路は図1左側のようになります。
回路の合成抵抗\( \ R_{1} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R_{1} &=& 1+\frac {4\times (2+6)}{4+(2+6)}+3 \\[ 5pt ] &=& \frac {20}{3} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,電源を流れる電流\( \ I_{1}^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}^{\prime } &=& \frac {E_{1}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{1}}{\displaystyle \frac {20}{3}} \\[ 5pt ] &=& \frac {3}{20} E_{1} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,分流の法則より抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I_{1} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=& \frac {2+6}{4+(2+6)}I_{1}^{\prime } \\[ 5pt ] &=& \frac {2}{3}\times \frac {3}{20} E_{1} \\[ 5pt ] &=& \frac { E_{1}}{10} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ヘ
ワンポイント解説「1.重ね合わせの理(重ねの理)」より,電圧源\( \ E_{2} \ \)のみを考えたとき,回路は図1右側のようになります。
回路の合成抵抗\( \ R_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
R_{2} &=& 2+\frac {4\times (1+3)}{4+(1+3)}+6 \\[ 5pt ] &=& 10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,電源を流れる電流\( \ I_{2}^{\prime } \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {E_{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{2}}{10} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,分流の法則より抵抗\( \ R \ \)を流れる電流\( \ I_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=& \frac {1+3}{4+(1+3)}I_{1}^{\prime } \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{2}\times \frac {E_{2}}{10} \\[ 5pt ] &=& \frac { E_{1}}{20} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:カ
(1),(2)より,
\[
\begin{eqnarray}
I&=&I_{1}+I_{2} \\[ 5pt ] &=& \frac { E_{1}}{10} +\frac { E_{2}}{20} \\[ 5pt ] &=& \frac { 2E_{1}+E_{2}}{20} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヌ
図の点\( \ \mathrm {a} \ \)の電位\( \ V_{\mathrm {a}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {a}}&=&RI \\[ 5pt ] &=& 4\times \frac { 2E_{1}+E_{2}}{20} \\[ 5pt ] &=& \frac { 2E_{1}+E_{2}}{5} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:チ
(3)より,電流\( \ I \ \)が零となるのは,
\[
\begin{eqnarray}
\frac { 2E_{1}+E_{2}}{20}&=&0 \\[ 5pt ] 2E_{1}+E_{2}&=&0 \\[ 5pt ] E_{2}&=& -2E_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。



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