《電力》〈原子力〉[H24:問4]ウランと重油の燃料消費量の違いに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆（やや難しい）

\( \ 0.01 \ \mathrm {[kg]} \ \)のウラン\( \ 235 \ \)が核分裂するときに\( \ 0.09 \ \mathrm {[％]} \ \)の質量欠損が生じるとする。これにより発生するエネルギーと同じだけの熱を得るのに必要な重油の量\( \ \mathrm {[l]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，重油の発熱量は\( \ 43 \ 000 \ \mathrm {kJ／l} \ \)とする。

　(1)　\( 950\)　　(2)　\( 1900\)　　(3)　\( 9500\)　　(4)　\(19000\)　　(5)　\(38000\)　　　　

【ワンポイント解説】

光速が\( \ 3.0\times 10^{8} \ \mathrm {m／s} \ \)であることを与えられていないので，その知識とエネルギーと質量欠損の関係式を知っていることが前提となっている問題です。重油を石炭に変えた問題が令和元年問４に出題されています。

1.エネルギーと質量の関係式
アインシュタインの特殊相対性理論の中でも最もポピュラーな公式の一つで，ある物質に\( \ \Delta m \ \mathrm {[kg]} \ \)の質量欠損があった場合，その物質から発生するエネルギーを\( \ E \ \mathrm {[J]} \ \)，光の速度を\( \ c \ \mathrm {[m／s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\Delta m c^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

【解答】

解答：(4)
ウラン\( \ 235 \ \)の質量欠損\( \ \Delta m \ \mathrm {[kg]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\Delta m &=&0.01\times \frac {0.09}{100} \\[ 5pt ] &=&9\times 10^{-6} \ \mathrm {[kg]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，ワンポイント解説「1.エネルギーと質量の関係式」より，ウラン\( \ 235 \ \)が発生するエネルギー\( \ E \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\Delta m c^{2} \\[ 5pt ] &=&9\times 10^{-6}\times \left( 3.0\times 10^{8}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&8.1\times 10^{11} \ \mathrm {[J]} →　8.1\times 10^{8} \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。
一方，重油火力で発生するエネルギー\( \ E \ \)は，使用する重油の使用量を\( \ V_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[kg]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&43000 V_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるため，ウラン\( \ 235 \ \)が質量欠損し発生するエネルギーと同じだけの熱量を得るのに必要な重油の量は，
\[
\begin{eqnarray}
8.1\times 10^{8} &=&43000 V_{\mathrm {h}} \\[ 5pt ] V_{\mathrm {h}} &=&\frac {8.1\times 10^{8} }{43000} \\[ 5pt ] &≒&18837　→　19000 \ \mathrm {[l]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。