《電力》〈水力・火力〉[R05下:問15]水力発電所の発電電力量と汽力発電所の重油使用量に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

ある需要端の負荷に対し,水力発電所\( \ 1 \ \)か所と重油専焼汽力発電所\( \ 1 \ \)か所によって電力を供給する場合において,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 水力発電所の最大使用水量\( \ 20 \ \mathrm {m^{3} / s} \ \),総落差\( \ 200 \ \mathrm {m} \ \),損失水頭\( \ 7 \ \mathrm {m} \ \),水車と発電機の総合効率\( \ 85 \ \mathrm {%} \ \),年間の設備利用率\( \ 60 \ \mathrm {%} \ \)としたとき,この発電所の年間発電電力量\( \ \mathrm {[GW\cdot h]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 15 \ \)  (2) \( \ 30 \ \)  (3) \( \ 170 \ \)  (4) \( \ 175 \ \)  (5) \( \ 200 \ \)

(b) 需要端の負荷に供給する最大電力が\( \ 100 \ \mathrm {MW} \ \),年負荷率\( \ 60 \ \mathrm {%} \ \)の場合,汽力発電所における重油の年間の消費量\( \ \mathrm {[kL]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし,この汽力発電所の発電端熱効率は\( \ 40 \ \mathrm {%} \ \)で運転出力に関わらず一定とする。使用する重油の発熱量は\( \ 39 \ 100 \ \mathrm {kJ / L} \ \)とし,発電所から需要端までの送電損失,発電所内損失は無視するものとする。

 (1) \( \ 13 \ 000 \ \)  (2) \( \ 33 \ 000 \ \)  (3) \( \ 82 \ 000 \ \) 
 (4) \( \ 114 \ 000 \ \)  (5) \( \ 120 \ 000 \ \)

【ワンポイント解説】

汽力発電所と水力発電所の諸計算に関する問題です。
(b)の計算量がやや多く,冒頭にしか二つの発電所から供給されるということが記載されていないため,(5)を選んだ受験生が多かったかもしれません。
本番ではミスを防ぐため,まず問題を整理するために図か表を描いても良いかと思います。

1.水力発電所の出力\( \ P \ \)
水力発電所の使用水量\( \ Q \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \),有効落差\( \ H \ \mathrm {[m]} \ \),水車効率\( \ \eta _{\mathrm {w}} \ \),発電機効率\( \ \eta _{\mathrm {g}} \ \)とすると,発電機の出力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&9.8QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。これは重力加速度\( \ g=9.8 \ \mathrm {[m/s^{2}]} \ \)及び水の密度\( \ \rho =1000 \ \mathrm {[kg/m^{3}]} \ \)を使用した時の発電機の出力である
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\rho gQH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] に各値を代入し,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&1000 \times 9.8 QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] &=&9.8 QH\eta _{\mathrm {w}}\eta _{\mathrm {g}} \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] として導出したものです。

2.年間発電電力量
最大電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \),年間の設備利用率(最大運転で\( \ 1 \ \)年間運転し続けた電力量に対する実際の電力量の割合)が\( \ \eta _{\mathrm {m}} \ \)であるとき,年間発電電力量\( \ W \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,\( \ 1 \ \)日が\( \ 24 \ \)時間,\( \ 1 \ \)年が\( \ 365 \ \)日であるとすると,
\[
\begin{eqnarray}
W &=&P\times 24 \times 365 \times \eta _{\mathrm {m}} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

3.汽力発電所の各効率
汽力発電所で用いられる効率は以下の通りです。計算簡略化の為,すべて小数表記での計算となっています。効率の低下は燃料の使用量(支出)に影響するため,電力会社では熱効率が非常に重要なファクターとなっています。

①ボイラ効率\( \ \eta _{\mathrm {B}} \ \)
ボイラで燃料を燃焼し,給水を蒸気にする際の熱交換率の指標です。排ガス損失等があります。
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {B}}&=&\frac {ボイラの蒸気として得た熱量}{燃料使用量から換算した熱量} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

②タービン室効率\( \ \eta _{\mathrm {T}} \ \)
タービンに入った蒸気がどの程度のタービン出力になるかの効率で,タービン室という名前はタービンと復水器を合わせた効率という意味です。一般的な汽力発電所では一番ロスが大きい場所となります。
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {T}}&=&\frac {タービン軸出力}{タービンへ入る蒸気の熱量} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

③発電機効率\( \ \eta _{\mathrm {G}} \ \)
発電機の風損や巻線抵抗損等を考慮した効率で,一般的な水素発電機では\( \ \mathrm {98~99%} \ \)程度となっています。
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {G}}&=&\frac {発電機出力}{タービン軸出力} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

④発電端効率\( \ \eta _{\mathrm {P}} \ \)
発電ユニットの効率を表すもので,燃料の熱量がどの程度発電されたかを示す指標です。
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {P}}&=&\frac {発電機出力}{燃料使用量から換算した熱量}&=&\eta _{\mathrm {B}}\cdot \eta _{\mathrm {T}}\cdot \eta _{\mathrm {G}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

⑤送電端効率\( \ \eta _{\mathrm {S}} \ \)
発電端効率から所内率\( \ L \ \)を考慮し算出した効率で,発電所としての総合効率の指標となります。
\[
\begin{eqnarray}
\eta _{\mathrm {S}}&=&\eta _{\mathrm {P}}( 1-L ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

4.年負荷率
年間の最大需要電力に対する平均需要電力の割合のことをいいます。
\[
\begin{eqnarray}
年負荷率&=&\frac {年平均需要電力}{最大需要電力}\times 100 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

5.\( \ \mathrm {[kJ]} \ \)と\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)の変換
単位の定義より,
\[
\begin{eqnarray}
1 \ \mathrm {[kJ/s]} &=&1 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,両辺の単位に\( \ \mathrm {[s]} \ \)をかけると,
\[
\begin{eqnarray}
1 \ \mathrm {[kJ]} &=&1 \ \mathrm {[kW\cdot s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,両辺に\( \ 1 \ \mathrm {[h]}=3 \ 600 \ \mathrm {[s]} \ \)を考慮して,\( \ 3600 \ \)をかけると,
\[
\begin{eqnarray}
3 \ 600 \ \mathrm {[kJ]} &=&1 \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(3)
水力発電所の最大電力\( \ P \ \mathrm {[kW]} \ \)は,最大使用水量\( \ Q=20 \ \mathrm {[m^{3}/s]} \ \),有効落差\( \ H=200-7=193 \ \mathrm {[m]} \ \),水車発電機の総合効率\( \ \eta =0.85 \ \)であるから,ワンポイント解説「1.水力発電所の出力\( \ P \ \)」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
P &=&9.8 QH\eta \\[ 5pt ] &=&9.8 \times 20\times 193\times 0.85 \\[ 5pt ] &≒&32 \ 150 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,年間発電電力量\( \ W_{\mathrm {w}} \ \mathrm {[GW\cdot h]} \ \)は,年間の設備利用率が\( \ \eta _{\mathrm {m}}=0.60 \ \)なので,ワンポイント解説「2.年間発電電力量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {w}} &=&P\times 24 \times 365 \times \eta _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=&32 \ 150\times 24 \times 365 \times 0.60 \\[ 5pt ] &≒&169 \ 000 \ 000 \ \mathrm {[kW\cdot h]} → 169 \ \mathrm {[GW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
需要端の負荷の年平均需要電力\( \ P_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[kW]} \ \)は,最大電力が\( \ P_{\mathrm {m}}=100 \ \mathrm {[MW]} \ \),年負荷率が\( \ 0.60 \ \)なので,ワンポイント解説「4.年負荷率」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {a}} &=&P_{\mathrm {m}}\times 0.60 \\[ 5pt ] &=&100\times 1 \ 000\times 0.60 \\[ 5pt ] &=&60 \ 000 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,年間需要電力量\( \ W_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,ワンポイント解説「2.年間発電電力量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {L}} &=&P_{\mathrm {a}}\times 24 \times 365 \\[ 5pt ] &=&60 \ 000\times 24 \times 365 \\[ 5pt ] &=&5.256 \times 10^{8} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これを(a)の水力発電所と汽力発電所が分担するので,汽力発電所が分担する発電電力量\( \ W_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
W_{\mathrm {s}} &=&W_{\mathrm {L}}-W_{\mathrm {w}} \\[ 5pt ] &=&5.256 \times 10^{8}-169 \ 000 \ 000 \\[ 5pt ] &=&5.256 \times 10^{8}-1.69 \times 10^{8} \\[ 5pt ] &=&3.566 \times 10^{8} \ \mathrm {[kW\cdot h]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。これを熱量換算した値\( \ Q_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[kJ]} \ \)は,ワンポイント解説「5.\( \ \mathrm {[kJ]} \ \)と\( \ \mathrm {[kW\cdot h]} \ \)の変換」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {o}} &=&3 \ 600P_{\mathrm {a}} \\[ 5pt ] &=&3 \ 600\times 3.566 \times 10^{8} \\[ 5pt ] &≒&1.284\times 10^{12} \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,汽力発電所の入熱量\( \ Q_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[kJ]} \ \)は,発電端熱効率\( \ \eta _{\mathrm {P}}=0.40 \ \)より,ワンポイント解説「3.汽力発電所の各効率」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
Q_{\mathrm {i}} &=&\frac {Q_{\mathrm {o}}}{\eta _{\mathrm {P}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1.284\times 10^{12}}{0.40} \\[ 5pt ] &=&3.210\times 10^{12} \ \mathrm {[kJ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,重油の年間消費量\( \ B \ \mathrm {[kL]} \ \)は,重油の発熱量が\( \ H=39 \ 100 \ \mathrm {[kJ/L]} \ \)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
B &=&\frac {Q_{\mathrm {i}}}{H} \\[ 5pt ] &=&\frac {3.210\times 10^{12}}{39 \ 100} \\[ 5pt ] &≒&8.21\times 10^{7} \ \mathrm {[L]} → 82 \ 100 \ \mathrm {[kL]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。