《電力》〈変電〉[R05上:問16]三相変圧器二次側に設ける遮断器の定格遮断電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のように，定格電圧\( \ 66 \ \mathrm {kV} \ \)の電源から三相変圧器を介して二次側に遮断器が接続された系統がある。この三相変圧器は定格容量\( \ 10 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)，変圧比\( \ 66 / 6.6 \ \mathrm {kV} \ \)，百分率インピーダンスが自己容量基準で\( \ 7.5 \ \mathrm {％} \ \)である。変圧器一次側から電源側をみた百分率インピーダンスを基準容量\( \ 100 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)で\( \ 5 \ \mathrm {％} \ \)とするとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　基準容量を\( \ 10 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)として，変圧器二次側から電源側をみた百分率インピーダンスの値\( \ \mathrm {[％]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 2.5 \ \)　　(2)　\( \ 5.0 \ \)　　(3)　\( \ 7.0 \ \)　　(4)　\( \ 8.0 \ \)　　(5)　\( \ 12.5 \ \)

(b)　図の\( \ \mathrm {A} \ \)点で三相短絡事故が発生したとき，事故電流を遮断できる遮断器の定格遮断電流の最小値\( \ \mathrm {[kA]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし，変圧器二次側から\( \ \mathrm {A} \ \)点までのインピーダンスは無視するものとする。

　(1)　\( \ 8 \ \)　　(2)　\( \ 12.5 \ \)　　(3)　\( \ 16 \ \)　　(4)　\( \ 20 \ \)　　(5)　\( \ 25 \ \)

【ワンポイント解説】

三相変圧器二次側からみた百分率インピーダンスと三相短絡電流を求め，遮断器の定格遮断電流を特定する問題です。
ある点から電源側を見た百分率インピーダンスを求め，遮断器の定格遮断電流を求める問題は，近年では令和4年上期問16，令和2年問8と出題頻度が上がってきている印象があります。
しっかりと内容を理解して本番で出題された場合には得点源とできるようにしましょう。

1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 　(定義) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100　　 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.百分率インピーダンスの容量換算
「1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換」の通り，百分率インピーダンスは基準容量に比例します。したがって，基準容量\( \ P_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)の時\( \ ％Z_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[％]} \ \)のインピーダンスを\( \ P_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)へ換算した百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {B}}&=&\frac {P_{\mathrm {B}}}{P_{\mathrm {A}}}％Z_{\mathrm {A}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.百分率インピーダンスの短絡電流計算
ある地点から電源側を見た百分率インピーダンスを\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)とすると，その点での三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，基準電流\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)を用いて，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {I_{\mathrm {n}}}{％Z／100} \\[ 5pt ] &=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

※百分率インピーダンスの定義式等を用いて\( \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \ \)から上式を求めることはできますが，試験時には暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}}\times I_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}\times 100}\times 100I_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

(a)解答：(4)
変圧器一次側から電源側をみた百分率インピーダンス\( \ ％Z_{1}=5 \ \mathrm {[％]} \ \)を\( \ 10 \ \mathrm {MV\cdot A} \ \)換算した百分率インピーダンス\( \ ％Z_{1}^{\prime } \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「2.百分率インピーダンスの容量換算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{1}^{\prime }&=&\frac {10}{100}％Z_{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {10}{100}\times 5 \\[ 5pt ] &=&0.5 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，変圧器二次側から電源側をみた百分率インピーダンス\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，変圧器の百分率インピーダンス\( \ ％Z_{\mathrm {t}}=7.5 \ \mathrm {[％]} \ \)とおくと，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&％Z_{1}^{\prime }+％Z_{\mathrm {t}} \\[ 5pt ] &=&0.5+7.5 \\[ 5pt ] &=&8.0 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(2)
変圧器二次側の定格電流\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {n}}&=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10\times 10^{6}}{\sqrt {3}\times 6.6\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒&874.8 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，\( \ \mathrm {A} \ \)点での三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[kA]} \ \)は，ワンポイント解説「3.百分率インピーダンスの短絡電流計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {100I_{\mathrm {n}}}{％Z} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 874.8}{8.0} \\[ 5pt ] &≒&10 \ 900 \ \mathrm {[A]}　→　10.9 \ \mathrm {[kA]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，遮断器の定格遮断電流は三相短絡電流よりも大きくしなければならないので，解答の選択肢においては最小値は\( \ 12.5 \ \mathrm {[kA]} \ \)と求められる。