《電力》〈送電〉[R06下:問17]送電線のフェランチ現象を模式化した演算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

送電線のフェランチ現象に関する問である。三相\( \ 3 \ \)線式\( \ 1 \ \)回線送電線の一相が図の\( \ \pi \ \)形等価回路で表され，送電線路のインピーダンス\( \ \mathrm {j}X=\mathrm {j}200 \ \mathrm {\Omega } \ \)，アドミタンス\( \ \mathrm {j}B=\mathrm {j}0.800 \ \mathrm {mS} \ \)とし，送電端の線間電圧が\( \ 66.0 \ \mathrm {kV} \ \)であり，受電端が無負荷のとき，次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)　受電端の線間電圧の値\( \ \mathrm {[kV]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 66.0 \ \)　　(2)　\( \ 71.7 \ \)　　(3)　\( \ 78.6 \ \)　　(4)　\( \ 114 \ \)　　(5)　\( \ 132 \ \)

(b)　\( \ 1 \ \)線当たりの送電端電流の値\( \ \mathrm {[A]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 15.2 \ \)　　(2)　\( \ 16.6 \ \)　　(3)　\( \ 28.7 \ \)　　(4)　\( \ 31.8 \ \)　　(5)　\( \ 55.1 \ \)

【ワンポイント解説】

無負荷送電線の\( \ \pi \ \)形回路に関する計算問題です。
フェランチ現象は深夜等の軽負荷時に受電端電圧が送電端電圧より上昇する現象で，本問はなぜ受電端電圧が高くなるのかを理解するのには最適な問題と言えると思います。ただし，本問の場合はフェランチ効果の現象としての問題ではなく，ほぼ回路計算の問題となっています。
本問は令和元年問16からの再出題となります。

1.抵抗，コイル，コンデンサのインピーダンスとアドミタンス
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンス\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，アドミタンス\( \ \mathrm {[S]} \ \)はインピーダンスの逆数なので，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Y}_{\mathrm {R}}&=&\frac {1}{R}&& \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {L}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega L}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f L} \\[ 5pt ] {\dot Y}_{\mathrm {C}}&=&\mathrm {j}\omega C&=&\mathrm {j}2\pi f C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

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【解答】

(a)解答：(2)
送電端及び受電端の相電圧を\( \ E_{\mathrm {s}}=\displaystyle \frac {V_{\mathrm {s}}}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[kV]} \ \)及び\( \ E_{\mathrm {r}}=\displaystyle \frac {V_{\mathrm {r}}}{\sqrt {3}} \ \mathrm {[kV]} \ \)とおくと，分圧の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {r}}&=&\frac {\displaystyle \frac {2}{\mathrm {j}B}}{\mathrm {j}X+\displaystyle \frac {2}{\mathrm {j}B}}E_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，両辺\( \ \sqrt {3} \ \)倍すれば，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {r}}&=&\frac {\displaystyle \frac {2}{\mathrm {j}B}}{\mathrm {j}X+\displaystyle \frac {2}{\mathrm {j}B}}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle -\mathrm {j}\frac {2}{B}}{\mathrm {j}X-\mathrm {j}\displaystyle \frac {2}{B}}V_{\mathrm {s}}　\left( ∵\frac {1}{\mathrm {j}}=\frac {1}{\mathrm {j}}\times \frac {\mathrm {j}}{\mathrm {j}}=-\mathrm {j}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle -\frac {2}{B}}{X-\displaystyle \frac {2}{B}}V_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle -\frac {2}{0.800\times 10^{-3}}}{200-\displaystyle \frac {2}{0.800\times 10^{-3}}}\times 66.0 \\[ 5pt ] &=&\frac {-2 \ 500}{200-2 \ 500}\times 66.0 \\[ 5pt ] &≒&71.74　→　71.7 \ \mathrm {[kV]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(4)
送電端側のアドミタンスに流れる電流を\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，受電端側のアドミタンスに流れる電流を\( \ {\dot I}_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{1} &=&\mathrm {j}\frac {B}{2}{\dot E}_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] {\dot I}_{2} &=&\mathrm {j}\frac {B}{2}{\dot E}_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから，送電端電流\( \ {\dot I}_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {s}} &=&{\dot I}_{1}+{\dot I}_{2} \\[ 5pt ] &=&\mathrm {j}\frac {B}{2}{\dot E}_{\mathrm {s}}+\mathrm {j}\frac {B}{2}{\dot E}_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] &=&\mathrm {j}\frac {B}{2}\left( {\dot E}_{\mathrm {s}}+{\dot E}_{\mathrm {r}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ここで，受電端は無負荷であるから，送電端電圧\( \ {\dot E}_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot E}_{\mathrm {s}} &=&{\dot E}_{\mathrm {r}}+\mathrm {j}X{\dot I}_{2} \\[ 5pt ] &=&{\dot E}_{\mathrm {r}}+\mathrm {j}X\left( \mathrm {j}\frac {B}{2}{\dot E}_{\mathrm {r}}\right) \\[ 5pt ] &=&{\dot E}_{\mathrm {r}}-\frac {XB}{2}{\dot E}_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] &=&\left( 1-\frac {XB}{2}\right) {\dot E}_{\mathrm {r}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，送電端電圧と受電端電圧は同相であることがわかるため，送電端電流の大きさ\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}} &=&\frac {B}{2}\left( E_{\mathrm {s}}+E_{\mathrm {r}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {0.800\times 10^{-3}}{2}\times \left( \frac {66.0\times 10^{3}}{\sqrt {3}}+\frac {71.74\times 10^{3}}{\sqrt {3}}\right) \\[ 5pt ] &≒&31.8 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。