《機械》〈同期機〉[R07下:問6]三相同期発電機の同期インピーダンスの導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

三相同期発電機があり，無負荷で端子電圧（線間）\( \ 15.2 \ \mathrm {kV} \ \)を発生させるのに必要な界磁電流は\( \ 500 \ \mathrm {A} \ \)である。この界磁電流を\( \ 100 \ \mathrm {A} \ \)にして短絡試験を行ったとき，短絡電流\( \ 860 \ \mathrm {A} \ \)が流れた。界磁電流が\( \ 500 \ \mathrm {A} \ \)のとき，この発電機の同期インピーダンス\( \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 10.2 \ \)　　(2)　\( \ 6.86 \ \)　　(3)　\( \ 3.53 \ \)　　(4)　\( \ 2.04 \ \)　　(5)　\( \ 0.55 \ \)

【ワンポイント解説】

同期機の同期インピーダンスを求める問題です。
同期機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線の特性をしっかりと理解しているかが問われています。電験でも特性曲線に関する問題は出題されやすいので，必ず理解しておいて下さい。
本問は平成15年問4からの再出題となります。

1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換
基準容量を\( \ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，基準電圧を\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)，基準電流を\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の百分率インピーダンス（パーセントインピーダンス）\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
％Z&=&\frac {ZI_{\mathrm {n}}}{\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}\times 100 　(定義) \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZI_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {3}ZV_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {n}}Z}{V_{\mathrm {n}}^{2}}\times 100　　 (∵P_{\mathrm {n}}=\sqrt {3}V_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} ) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線
同期発電機は図1のような無負荷飽和曲線と三相短絡曲線の特性があります。
無負荷飽和曲線は定格速度で無負荷で運転したときの界磁電流と端子電圧の関係，三相短絡曲線は電機子巻線の三相の出力端子を短絡し定格速度で運転したときの界磁電流と三相短絡電流の関係，を表したものです。
図中の\( \ V_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[V]} \ \)は定格電圧，\( \ I_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電流，三相短絡曲線は曲線ですが，ほぼ比例の直線と近似できます。
この時，\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は定格電圧時の三相短絡電流であり，短絡比\( \ K \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}=\frac {I_{\mathrm {f1}}}{I_{\mathrm {f2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.百分率インピーダンスと短絡比の関係
同期発電機の百分率同期インピーダンスが\( \ ％Z \ \mathrm {[％]} \ \)，短絡比が\( \ K \ \)であるとき，その関係は，
\[
\begin{eqnarray}
K&=&\frac {100}{％Z} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。

※百分率インピーダンスの定義式等を用いて\( \ \displaystyle I_{\mathrm {s}}=\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \ \)から上式を求めることはできますが，試験時には暗記しておいた方が良いと思います。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}} \\[ 5pt ] \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}}&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] K&=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]}I_{\mathrm {n}}\times 100}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{％Z_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(4)
端子電圧\( \ V_{\mathrm {n}}=15.2 \ \mathrm {[kV]} \ \)を発生させるのに必要な界磁電流\( \ I_{\mathrm {f1}}=500 \ \mathrm {[A]} \ \)，界磁電流\( \ I_{\mathrm {f2}}=100 \ \mathrm {[A]} \ \)のときの短絡電流\( \ I_{\mathrm {n}}=860 \ \mathrm {[A]} \ \)なので，図に示すと図2のようになる。
図2の三相短絡曲線より，\( \ I_{\mathrm {f1}}=500 \ \mathrm {[A]} \ \)のときの三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {s}}&=&\frac {I_{\mathrm {f1}}}{I_{\mathrm {f2}}}I_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\frac {500}{100}\times 860 \\[ 5pt ] &=&4 \ 300 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，同期インピーダンス\( \ Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{\mathrm {s}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}}}{I_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}I_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {15.2\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 4 \ 300} \\[ 5pt ] &≒&2.04 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

［別解］
三相短絡電流\( \ I_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[A]} \ \)までは同様に求める。
短絡比\( \ K \ \)は，ワンポイント解説「2.同期発電機の無負荷飽和曲線と三相短絡曲線」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
K &=& \frac {I_{\mathrm {s}}}{I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {4 \ 300}{860} \\[ 5pt ] &=& 5 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，百分率同期インピーダンスが\( \ ％Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[％]} \ \)は，ワンポイント解説「3.百分率インピーダンスと短絡比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {s}}&=&\frac {100}{K} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{5} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，同期インピーダンス\( \ Z_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.オーム法からパーセントインピーダンス法への変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
％Z_{\mathrm {s}}&=&\frac {\sqrt {3}Z_{\mathrm {s}}I_{\mathrm {n}}}{V_{\mathrm {n}}}\times 100 \\[ 5pt ] Z_{\mathrm {s}}&=&\frac {％Z_{\mathrm {s}}V_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3}\times 100I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {20\times 15.2\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 100\times 860} \\[ 5pt ] &≒&2.04 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。