《機械》〈照明〉[H19:問11]白熱電球による円形テーブルの平均照度に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

円形テーブルの中心点の直上に全光束\( \ 3 \ 600 \ \mathrm {[lm]} \ \)で均等放射する白熱電球を取り付けた。この円形テーブル面の平均照度\( \ \mathrm {[lx]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

ただし，電球から円形テーブル面までの距離に比べ電球の大きさは無視できるものとし，電球から円形テーブル面を見た立体角は\( \ 2.36 \ \mathrm {[sr]} \ \)，円形テーブルの面積は\( \ 20 \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とする。

　(1)　\( \ 14 \ \)　　(2)　\( \ 34 \ \)　　(3)　\( \ 68 \ \)　　(4)　\( \ 76 \ \)　　(5)　\( \ 135 \ \)

【ワンポイント解説】

円形テーブルの平均照度に関する問題です。
計算難易度はそれほど高くありませんが，照明の基本公式を組み合わせて解いていく必要があるため，受験生の正答率はあまり高くなかったことが予想されます。
白熱電球であることから全く同じ問題の出題の可能性は低いかもしれませんが，光源を\( \ \mathrm {LED} \ \)に変えて出題される可能性はありますので，内容は理解しておくようにしましょう。

1.光束\( \ F \ \)
光源から出る可視光の量（エネルギー）で，単位は\( \ \mathrm {[lm]} \ \)となります。
電磁気の分野の電束に似たようなイメージで良いです。

2.立体角の定義
図2のように球体があり，半径\( \ r \ \mathrm {[m]} \ \)の錐体が球面を切り取った時の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)とすると，立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角\( \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ \)で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は\( \ \theta = \pi \ \)の時であり，\( \ \omega =4\pi \ \)となります。

3.光度\( \ I \ \)
ある方向に向かう光束\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)を立体角\( \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ \)で割ったもので，光度\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)を式で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.照度\( \ E \ \)
単位面積あたりの光束で単位は\( \ \mathrm {[lx]} \ \)で，図4のように光源から面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)の面に入射する光束が\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)であるとき，平均照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
また，光源からある方向へ向かう光度が\( \ I \ \mathrm {[cd]} \ \)であるとき，光源からの距離\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)離れた垂直面の照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。このように，一般に物理量が\( \ 2 \ \)乗に反比例する法則を逆\( \ 2 \ \)乗の法則といいます。

【解答】

解答：(2)
題意に沿って図に示すと図5のようになる。白熱電球の全光束が\( \ F_{0}=3 \ 600 \ \mathrm {[lm]} \ \)，電球から円形テーブル面を見た立体角は\( \ \omega =2.36 \ \mathrm {[sr]} \ \)であり，球全体の立体角は\( \ 4\pi \ \mathrm {[sr]} \ \)なので，円形テーブルに入射する光束\( \ F \ \mathrm {[lm]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
F&=&\frac {\omega }{4\pi}\times F_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {2.36}{4\pi}\times 3 \ 600 \\[ 5pt ] &≒&676.1 \ \mathrm {[lm]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。円形テーブルの面積\( \ S=20 \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)であるから，テーブル面の平均照度\( \ E \ \mathrm {[lx]} \ \)は，ワンポイント解説「4.照度\( \ E \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] &=&\frac {676.1}{20} \\[ 5pt ] &≒&34 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。