《機械》〈誘導機〉[H20:問15]三相誘導電動機の回転速度と滑り周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格出力\( \ 7.5 \ \mathrm {kW} \ \)，定格電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ 8 \ \)極の三相巻線形誘導電動機がある。この電動機を定格電圧，定格周波数の三相電源に接続して定格出力で運転すると，\( \ 82 \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)のトルクが発生する。この運転状態のとき，次の(a)及び(b)に答えよ。

(a)　回転速度\( \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 575 \ \)　　(2)　\( \ 683 \ \)　　(3)　\( \ 724 \ \)　　(4)　\( \ 874 \ \)　　(5)　\( \ 924 \ \)

(b)　回転子巻線に流れる電流の周波数\( \ \mathrm {[Hz]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　\( \ 1.74 \ \)　　(2)　\( \ 4.85 \ \)　　(3)　\( \ 8.25 \ \)　　(4)　\( \ 12.4 \ \)　　(5)　\( \ 15.5 \ \)

【ワンポイント解説】

三相誘導電動機の回転速度と滑り周波数を求める問題です。
(b)が少し慣れていない受験生がいるかもしれませんが，内容自体はそれほど難しくありませんので，合格のためにはぜひとも得点しておきたい問題となります。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，これを変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ] N&=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ] &=& N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)
図1より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるから，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}{I^{\prime}_{2}}^{2} \\[ 5pt ] &=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \left( {\frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}
\end{eqnarray}
\] となり，発生するトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {(1-s)P_{2}}{(1-s)\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{\omega _{\mathrm {s}}s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

5.滑り周波数
誘導電動機の二次側（回転子）に発生する周波数をいい，一次側（固定子）の周波数を\( \ f_{1} \ \mathrm {[Hz]} \ \)，滑りを\( \ s \ \)とすると，滑り周波数\( \ f_{2} \ \mathrm {[Hz]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
f_{2}&=&sf_{1} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。これは二次側回路の誘導起電力にも関係し，二次の誘導起電力は\( \ sE_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)となり，等価回路は図2のようになります。
（電動機の回転子が回転磁界の中で回転しているイメージを持つとわかりやすいかと思います。）

【解答】

(a)解答：(4)
出力\( \ P=7.5 \ \mathrm {[kW]} \ \)，トルク\( \ T=82 \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)なので，角速度\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {P}{T} \\[ 5pt ] &=&\frac {7.5\times 10^{3}}{82} \\[ 5pt ] &≒&91.46 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，回転速度\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {2\pi N}{60} \\[ 5pt ] N &=&\frac {60\omega }{2 \pi} \\[ 5pt ] &=&\frac {60\times 91.46}{2 \pi} \\[ 5pt ] &≒&873.4　→　873 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答：(1)
定格周波数\( \ f=60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，極数\( \ p=8 \ \)なので，三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 60}{8} \\[ 5pt ] &=&900 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，滑り\( \ s \ \)は，ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {900-873.4}{900} \\[ 5pt ] &≒&0.0295 \ 6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，回転子巻線に流れる電流の周波数（滑り周波数）\( \ f_{2} \ \mathrm {[Hz]} \ \)は，ワンポイント解説「5.滑り周波数」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
f_{2} &=&sf \\[ 5pt ] &=&0.0295 \ 6 \times 60 \\[ 5pt ] &≒&1.77 \ \mathrm {[Hz]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。