《機械》〈変圧器〉[H20:問7]変圧器の磁束と電圧及び電圧と電流の関係に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

一次巻線抵抗，二次巻線抵抗，漏れリアクタンスや鉄損を無視した磁気飽和のない理想的な単相変圧器を考える。この変圧器の鉄心中の磁束の最大値を\( \ \mathit {\Phi}_{m} \ \mathrm {[Wb]} \ \)，一次巻線の巻数を\( \ N_{1} \ \)，この変圧器に印加される正弦波電圧の\( \ \fbox {　 （ア） 　} \ \)を\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると，\( \ \mathit {\Phi}_{m} \ \)は次式から求められる。
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi}_{m} &=& \ \fbox {　 （イ） 　} \ \cdot \frac {V_{1}}{fN_{1}} \ \mathrm {[Wb]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] この磁束により変圧器の二次端子に二次誘導起電力\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)が生じる。

一次巻線の巻数\( \ N_{1} \ \)，二次巻線の巻数\( \ N_{2} \ \)がそれぞれ\( \ 2 \ 550 \ \)，\( \ 85 \ \)の場合，この変圧器の一次側に\( \ 6 \ 300 \ \mathrm {[V]} \ \)の電圧を印加すると，二次側に誘起される電圧は\( \ \fbox {　 （ウ） 　} \ \mathrm {[V]} \ \)となる。

変圧器二次端子に\( \ 7 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗負荷を接続した場合の一次電流\( \ I_{1} \ \)，二次電流\( \ I_{2} \ \)は，励磁電流を無視できるものとすると，それぞれ\( \ I_{1}= \ \fbox {　 （エ） 　} \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ I_{2}= \ \fbox {　 （オ） 　} \ \mathrm {[A]} \ \)である。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)，(ウ)，(エ)及び(オ)に当てはまる語句又は数値として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） & （オ） \\
\hline
(1) & 　実効値　 & 　\displaystyle \frac {\sqrt {2}}{2\pi }　 & 　210　 & 　30　 & 　1.0　 \\
\hline
(2) & 　最大値　 & 　\displaystyle \frac {2\pi }{\sqrt {2}}　 & 　105　 & 　1.0　 & 　0.25　 \\
\hline
(3) & 　実効値　 & 　\displaystyle \frac {\sqrt {2}}{2\pi }　 & 　210　 & 　1.0　 & 　30　 \\
\hline
(4) & 　最大値　 & 　\displaystyle \frac {1}{2\pi }　 & 　105　 & 　15　 & 　30　 \\
\hline
(5) & 　実効値　 & 　\displaystyle \frac {2\pi }{\sqrt {2}}　 & 　105　 & 　1.0　 & 　0.25　 \\
\hline
\end{array}
\] （注）\( \ \displaystyle \frac {\sqrt {2}}{2\pi }≒\frac {1}{4.44} \ \)，\( \ \displaystyle \frac {2\pi }{\sqrt {2}}≒4.44 \ \)，\( \ \displaystyle \frac {1}{2\pi }≒0.159 \ \)として計算する場合が多い

【ワンポイント解説】

変圧器の一次電圧と磁束及び一次二次の電圧電流の関係を問う問題です。
（ア）と（イ）がわからない受験生が多いかもしれませんが，（ウ）～（オ）の空欄で正答は導き出せるため，正答率は高かったものと想定されます。

1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係
変圧器の一次側の巻数\( \ N_{1} \ \)，電圧\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)，二次側の巻数\( \ N_{2} \ \)，電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)，電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，巻数比\( \ \displaystyle a=\frac {N_{1}}{N_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
a&=&\frac {N_{1}}{N_{2}} =\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。\( \ \displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}} \ \)を変圧比，\( \ \displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}} \ \)を変流比といいます。
また，一次側のインピーダンスを\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，二次側のインピーダンスを\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，インピーダンス比\( \ \displaystyle \frac {Z_{1}}{Z_{2}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {Z_{1}}{Z_{2}}&=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{I_{1}}}{\displaystyle \frac {V_{2}}{I_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {V_{1}}{V_{2}}}{\displaystyle \frac {I_{1}}{I_{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {a}{\displaystyle \frac {1}{a}} \\[ 5pt ] &=&a^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.変圧器に加える電圧と鉄心中の磁束の関係
巻数\( \ N_{1} \ \)の変圧器に一次電圧を加え，一次側巻線の磁束が\( \ \phi = \phi _{\mathrm {m}}\cos \omega t \ \mathrm {[Wb]} \ \)で変化したときの誘導起電力\( \ e_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)との関係は，ファラデーの電磁誘導の法則より，
\[
\begin{eqnarray}
e_{1}&=&-N_{1}\frac {\mathrm {d}\phi }{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &=&-N_{1}\frac {\mathrm {d}\phi _{\mathrm {m}}\cos \omega t}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &=&-N_{1}\phi _{\mathrm {m}}\omega \left( -\sin \omega t \right) \\[ 5pt ] &=&N_{1}\phi _{\mathrm {m}}\omega \sin \omega t \\[ 5pt ] &=&N_{1}\phi _{\mathrm {m}}\cdot 2\pi f \sin \omega t \\[ 5pt ] &=&2\pi fN_{1}\phi _{\mathrm {m}} \sin \omega t \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，その実効値\( \ E_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{1}&=&\frac {2\pi }{\sqrt {2}}fN_{1}\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &≒&4.44fN_{1}\phi _{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。積分計算を伴うので，試験対策としては最後の式を暗記するようにして下さい。

【解答】

解答：(3)
(ア)
ワンポイント解説「2.変圧器に加える電圧と鉄心中の磁束の関係」の通り，\( \ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は変圧器に印加される正弦波電圧の実効値となります。

(イ)
ワンポイント解説「2.変圧器に加える電圧と鉄心中の磁束の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1}&=&\frac {2\pi }{\sqrt {2}}fN_{1}\mathit {\Phi}_{m} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるため，\( \ \mathit {\Phi}_{m} \ \)について整理すれば，
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi}_{m}&=&\frac {\sqrt {2}}{2\pi }\cdot \frac {V_{1}}{fN_{1}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

(ウ)
ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，一次側に\( \ V_{1}=6 \ 300 \ \mathrm {[V]} \ \)の電圧を印加したときの二次側に誘起される電圧\( \ V_{2} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{2}&=&\frac {N_{2}}{N_{1}} V_{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {85}{2 \ 550}\times 6 \ 300 \\[ 5pt ] &=&210 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

(エ)
(オ)
（ウ）より，二次端子に\( \ R=7 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗負荷を接続した場合の二次電流\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}&=&\frac {V_{2}}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {210}{7} \\[ 5pt ] &=&30 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，一次電流\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，ワンポイント解説「1.変圧器の巻数比と変圧比，変流比，インピーダンス比の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {N_{2}}{N_{1}} I_{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {85}{2 \ 550}\times 30 \\[ 5pt ] &=&1 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。