《機械》〈回転機〉[H28:問4]かご形三相誘導電動機の入力に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

定格周波数\(\mathrm {50Hz }\),\(\mathrm {6}\)極のかご形三相誘導電動機があり,トルク\(\mathrm {200N\cdot m }\),機械出力\(\mathrm {20kW }\)で定格運転している。このときの二次入力(同期ワット)の値\(\mathrm {[ kW ] }\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) 19  (2) 20  (3) 21  (4) 25  (5) 27

【ワンポイント解説】

誘導電動機の基本公式を理解しているかを問う問題です。電験ではもう少し複雑な問題が出てもよさそうな気もしますが,本問は良い練習問題となります。

1.三相誘導電動機の同期速度
周波数\(f\),極数\(p\)としたとき,電動機の同期速度\(N_{\mathrm {s}}\)は,
\[
N_{\mathrm {s}}=\frac {120f}{p}
\] で求められます。

2.三相誘導電動機の出力\(P_{\mathrm {o}}\)とトルク\(T\)の関係
出力\(P_{\mathrm {o}}\),その時の角周波数\(\omega \)としたとき,電動機のトルク\(T\)は,
\[
T=\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega }
\] で求められます。ただし,\(\omega \)は,回転速度\(N\)とすると,
\[
\omega =\frac {2\pi N}{60}
\] です。

3.同期ワット
トルク\(T\)で電動機の回転数を同期速度(同期角速度)で運転した場合の出力であり,二次入力\(P_{2}\)と等しくなります。
\[
P_{\mathrm {o}}=\omega _{\mathrm {s}}T=P_{2}
\] したがって,トルクと出力と二次入力の関係は以下の関係があります。
\[
T=\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega }=\frac {P_{2}\left( 1-s\right) }{\omega _{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) }=\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}}
\]

【解答】

解答:(3)
定格周波数\(f=\mathrm {50Hz }\),極数\(p=6\)であるから,同期速度\(N_{\mathrm {s}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 50}{6} \\[ 5pt ] &=&1000 \mathrm {[ min^{-1} ] }
\end{eqnarray}
\] となる。同期角速度\(\omega _{\mathrm {s}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}}&=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ] &=&\frac {2\pi \times 1000}{60} \\[ 5pt ] &≒& 104.72\mathrm {[ min^{-1} ] }
\end{eqnarray}
\] となる。よって,二次入力(同期ワット)\(P_{2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&\omega _{\mathrm {s}}T \\[ 5pt ] &=&104.72\times 200 \\[ 5pt ] &=& 20944\mathrm {[ W ] } \\[ 5pt ] &≒& 21\mathrm {[ kW ] }
\end{eqnarray}
\] と求められる。