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【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
定格出力\( \ 15 \ \mathrm {[kW]} \ \)，定格電圧\( \ 220 \ \mathrm {[V]} \ \)，定格周波数\( \ 60 \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ 6 \ \)極の三相誘導電動機がある。この電動機を定格電圧，定格周波数の三相電源に接続して定格出力で運転すると，滑りが\( \ 5 \ \mathrm {[％]} \ \)であった。機械損及び鉄損は無視できるものとして，次の(a)及び(b)に答えよ。
(a) このときの発生トルク\( \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。
(1) \( \ 114 \ \) (2) \( \ 119 \ \) (3) \( \ 126 \ \) (4) \( \ 239 \ \) (5) \( \ 251 \ \)
(b) この電動機の発生トルクが上記(a)の\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)となったときに，一次銅損は\( \ 250 \ \mathrm {[W]} \ \)であった。このときの効率\( \ \mathrm {[％]} \ \)の値として，最も近いのは次のうちどれか。
ただし，発生トルクと滑りの関係は比例するものとする。
(1) \( \ 92.1 \ \) (2) \( \ 94.0 \ \) (3) \( \ 94.5 \ \) (4) \( \ 95.5 \ \) (5) \( \ 96.9 \ \)
【ワンポイント解説】
誘導電動機の発生トルクと効率を求める問題です。
(a)はよくある出題形式の問題，(b)は考え方を整理して解く必要がある問題となります。一つ一つ丁寧に解いていけば間違えなくなりますので，基本公式をしっかりと理解するようにしましょう。
1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \)，電源の周波数が\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の時，同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。また，同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi }{60}\cdot \frac {120f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)，回転速度が\( \ N \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \ \)である時，誘導機の滑り\( \ s \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これを変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
sN_{\mathrm {s}}&=&N_{\mathrm {s}}-N \\[ 5pt ]
N&=&N_{\mathrm {s}}-sN_{\mathrm {s}} \\[ 5pt ]
&=& N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機の\( \ \mathrm {L} \ \)形等価回路は図1のようになります。図1において，\( \ {\dot V}_{1} \ \mathrm {[V]} \ \)は一次側端子電圧，\( \ {\dot I}_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は一次電流，\( \ {\dot I}_{2}^{\prime } \ \mathrm {[A]} \ \)は二次電流の一次換算，\( \ {\dot I}_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は励磁電流，\( \ r_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次巻線抵抗，\( \ r_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次巻線抵抗の一次換算，\( \ x_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は一次漏れリアクタンス，\( \ x_{2}^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算，\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& 3\frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {c2}} &=& 3r_{2}^{\prime }{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =3\frac {r_{2}^{\prime }}{s}{I_{2}^{\prime }}^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}：P_{\mathrm {o}}：P_{\mathrm {c2}} &=& 1：(1-s)：s \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があることが分かります。
4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)
図1より，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2}^{\prime } &=& \frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるから，二次入力\( \ P_{2} \ \mathrm {[W]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}{I^{\prime}_{2}}^{2} \\[ 5pt ]
&=&3\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \left( {\frac {V_{1}}{\displaystyle \sqrt{\left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}}
\end{eqnarray}
\]
となり，発生するトルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {(1-s)P_{2}}{(1-s)\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{2}}{\omega _{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3r_{2}^{\prime}}{\omega _{\mathrm {s}}s}\cdot \frac {V_{1}^{2}}{\displaystyle \left( r_{1}+\frac {r_{2}^{\prime}}{s}\right) ^{2} +(x_{1}+x_{2}^{\prime}) ^{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
5.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)
三相誘導電動機の一次入力が\( \ P_{\mathrm {1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次入力が\( \ P_{\mathrm {2}} \ \mathrm {[W]} \ \)，出力が\( \ P_{\mathrm {o}} \ \mathrm {[W]} \ \)，鉄損が\( \ P_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ \)，一次銅損が\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \mathrm {[W]} \ \)，二次銅損が\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \mathrm {[W]} \ \)であった時，各入力，出力の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {2}} &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}} \\[ 5pt ]
P_{\mathrm {o}} &=&P_{\mathrm {2}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ]
&=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，誘導電動機の効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {1}}}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(a)解答：(3)
電動機の同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)及び同期角速度\( \ \omega _{\mathrm {s}} \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{\mathrm {s}} &=&\frac {4\pi f}{p} \\[ 5pt ]
&=&\frac {4\pi \times 60}{6} \\[ 5pt ]
&≒&125.7 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であるので，定格出力時で滑り\( \ s=0.05 \ \)での角速度\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {2\pi N}{60} \\[ 5pt ]
&=&\frac {2\pi N_{\mathrm {s}}\left( 1-s\right) }{60} \\[ 5pt ]
&=&\omega _{\mathrm {s}} \left( 1-s\right) \\[ 5pt ]
&=&125.7 \times \left( 1-0.05\right) \\[ 5pt ]
&≒&119.4 \ \mathrm {[rad / s]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，出力\( \ P_{\mathrm {o}}=15 \ \mathrm {[kW]} \ \)より発生トルク\( \ T \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{\omega } \\[ 5pt ]
&=&\frac {15\times 10^{3}}{119.4} \\[ 5pt ]
&≒&125.6 → 126 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(3)
発生トルクが\( \ \displaystyle \frac {1}{2} \ \)となったときのトルク\( \ T^{\prime } \ \mathrm {[N\cdot m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T^{\prime }&=&\frac {1}{2}T \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times 125.6 \\[ 5pt ]
&=&62.8 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，二次入力\( \ P_{\mathrm {2}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「4.誘導電動機のトルク\( \ T \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {2}}^{\prime }&=&\omega _{\mathrm {s}}T^{\prime } \\[ 5pt ]
&=&125.7\times 62.8 \\[ 5pt ]
&=&7 \ 894 \ \mathrm {[W]} → 7.894 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。また，このときの滑り\( \ s^{\prime } \ \)は，問題文より発生トルクと滑りが比例することから，
\[
\begin{eqnarray}
s^{\prime }&=&\frac {1}{2}s \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{2}\times 0.05\\[ 5pt ]
&=&0.025 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，出力\( \ P_{\mathrm {o}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}}^{\prime }&=&P_{\mathrm {2}}^{\prime }\left( 1-s^{\prime }\right) \\[ 5pt ]
&=&7.894\times \left( 1-0.025\right) \\[ 5pt ]
&≒&7.697 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。一方，一次入力\( \ P_{\mathrm {1}}^{\prime } \ \mathrm {[kW]} \ \)は，一次銅損\( \ P_{\mathrm {c1}}^{\prime }=250 \ \mathrm {[W]} \ \)であることから，
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {1}}^{\prime }&=&P_{\mathrm {2}}^{\prime }+P_{\mathrm {c1}}^{\prime } \\[ 5pt ]
&=&7.894+\frac {250}{1 \ 000} \\[ 5pt ]
&=&8.144 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，効率\( \ \eta \ \mathrm {[％]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}^{\prime }}{P_{\mathrm {1}}^{\prime }}\times 100 \\[ 5pt ]
&=&\frac {7.697}{8.144}\times 100 \\[ 5pt ]
&≒&94.5 \ \mathrm {[％]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
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