《機械》〈回転機〉[H27:問15]誘導電動機の諸計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

定格出力\(15 \ \mathrm {kW}\),定格電圧\(220 \ \mathrm {V}\),定格周波数\(60 \ \mathrm {Hz}\),\(6\)極の三相巻線形誘導電動機がある。二次巻線は星形(\(\mathrm {Y}\))結線でスリップリングを通して短絡されており,各相の抵抗値は\(0.5 \ \Omega\)である。この電動機を定格電圧,定格周波数の電源に接続して定格出力(このときの負荷トルクを\(T_{\mathrm {n}}\)とする)で運転しているときの滑りは\(5%\)であった。

計算に当たっては,L形簡易等価回路を採用し,機械損及び鉄損は無視できるものとして,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 速度を変えるために,この電動機の二次回路の各相に\(0.2 \ \Omega \)の抵抗を直列に挿入し,上記と同様に定格電圧,定格周波数の電源に接続して上記と同じ負荷トルク\(T_{\mathrm {n}}\)で運転した。このときの滑りの値\([%]\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 3.0  (2) 3.6  (3) 5.0  (4) 7.0  (5) 10.0

(b) 電動機の二次回路の各相に上記(a)と同様に\(0.2 \ \Omega \)の抵抗を直列に挿入したままで,電源の周波数を変えずに電圧だけを\(200 \ \mathrm {V}\)に変更したところ,ある負荷トルクで安定に運転した。このときの滑りは上記(a)と同じであった。
 この安定に運転したときの負荷トルクの値\(\mathrm{[N\cdot m]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 99  (2) 104  (3) 106  (4) 109  (5) 114  

【ワンポイント解説】

やや計算が複雑な問題ですが,誘導電動機の問題は計算のパターンが少なく,試験にも類題がよく出題されるので,試験日までには確実に理解しておきたいところです。

1.誘導電動機のL形等価回路
誘導電動機のL形等価回路は,図1のようになります。

2.巻線形誘導電動機の比例推移
巻線形誘導電動機においては,トルク一定の下で二次抵抗と滑りが比例するという性質を持ち,これを比例推移と言います。

【解答】

(a)解答:(4)
ワンポイント解説「2.巻線形誘導電動機の比例推移」より,負荷トルク\(T_{\mathrm {n}}\)のまま,二次抵抗を\(0.5 \ \Omega \)から\(0.7 \ \Omega \)に変化させたので,このときの滑りの値\(s\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {s}{5}&=&\frac {0.7}{0.5}\\[ 5pt ] s&=&7 \ [%] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(2)
この電動機の同期速度\(N_{\mathrm {s}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}}&=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 60}{6} \\[ 5pt ] &=&1200 \ \mathrm {[min ^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,この電動機の初期状態の回転速度\(N\)は,
\[
\begin{eqnarray}
N&=&N_{\mathrm {s}}(1-s) \\[ 5pt ] &=&1200 \times (1-0.05) \\[ 5pt ] &=&1140 \ \mathrm {[min ^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,この時の負荷トルク\(T_{\mathrm {n}}\)は,\(P_{\mathrm {n}}=15 \mathrm {kW}\),\(\displaystyle \omega =\frac {2\pi N}{60}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
T_{\mathrm {n}}&=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\frac {2\pi N}{60}} \\[ 5pt ] &=&\frac {15\times 10^{3}}{\frac {2\pi \times 1140}{60}} \\[ 5pt ] &≒&125.6 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。
また,題意より機械損,鉄損は無視できるので,L形等価回路を描くと図2のようになる。
図2より,電動機の二次電流\(I\)の大きさは,
\[
I=\frac {V_{1}}{\sqrt {\left( r_{1}+\frac {{r_{2}}^{\prime }}{s}\right) ^{2} +\left( x_{1}+{x_{2}}^{\prime } \right) ^{2}}}
\] となるので,二次入力の大きさ\(P_{2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}&=&3\frac {r_{2}}{s}I^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}V_{1}^{2}}{s\left[ \left( r_{1}+\frac {{r_{2}}^{\prime }}{s}\right) ^{2} +\left( x_{1}+{x_{2}}^{\prime } \right) ^{2}\right] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,トルクの大きさ\(T\)は,
\[
\begin{eqnarray}
T&=&\frac {P_{2}}{\omega } \\[ 5pt ] &=&\frac {3r_{2}V_{1}^{2}}{\omega s\left[ \left( r_{1}+\frac {{r_{2}}^{\prime }}{s}\right) ^{2} +\left( x_{1}+{x_{2}}^{\prime } \right) ^{2}\right] } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\(T∝V^{2}\)の関係であることが分かる。
よって,電圧を\(220 \ \mathrm {V}\)から\(200 \ \mathrm {V}\)に変更したので,安定した時の負荷トルクの値\(T\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {T}{T_{\mathrm {n}}}&=&\left( \frac {200}{220 }\right) ^{2} \\[ 5pt ] T&=&\left( \frac {200}{220 }\right) ^{2}T_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] &=&\left( \frac {200}{220 }\right) ^{2}\times 125.6 \\[ 5pt ] &≒&104 \ \mathrm {[N\cdot m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。