《機械》〈照明〉[H27:問16]照度計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図に示すように,\(\mathrm {LED}\)1個が,床面から高さ\(\mathrm {2.4m}\)の位置で下向きに取り付けられ,点灯している。この\(\mathrm {LED}\)の直下方向となす角(鉛直角)を\(\theta \)とすると,この\(\mathrm {LED}\)の配光特性(\(\theta \)方向の光度\(I(\theta )\))は,\(\mathrm {LED}\)直下方向光度\(I( 0 )\)を用いて\(I(\theta ) =I( 0 )\cos \theta \)で表されるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 床面\(\mathrm {A}\)点における照度が\(20 \ \mathrm {lx}\)であるとき,\(\mathrm {A}\)点がつくる鉛直角\(\theta _{A}\)の方向の光度\(I(\theta _{A} )\)の値\(\mathrm {[cd]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 ただし,この\(\mathrm {LED}\)以外に光源はなく,天井や壁など,周囲からの反射光の影響もないものとする。

   

 (1) 60  (2) 119  (3) 144  (4) 160  (5) 319

(b) この\(\mathrm {LED}\)直下の床面\(\mathrm {B}\)点の照度の値\(\mathrm {[lx]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 25  (2) 28  (3) 31  (4) 49  (5) 61

【ワンポイント解説】

やや計算が複雑な問題ですが,誘導電動機の問題は計算のパターンが少なく,試験にも類題がよく出題されるので,試験日までには確実に理解しておきたいところです。

1.逆2乗の法則
照度\(E\)と光度\(I\)と光源からの距離\(r\)の間に,
\[
E=\frac {I}{r^{2}}
\] が成立するという法則です。

2.水平面照度
図4における\(E_{\mathrm {n}}\)を法線照度,\(E_{\mathrm {h}}\)を水平面照度と言い,下式のような関係があります。照度計で測定される\(\mathrm {A}\)点の照度は水平面照度\(E_{\mathrm {h}}\)になります。
\[
E_{\mathrm {n}}=\frac {I_{\theta }}{r^{2}}
\] \[
E_{\mathrm {h}}=E_{\mathrm {\mathrm {n}}}\cos\theta =\frac {I_{\theta }\cos\theta }{r^{2}}
\]

【解答】

(a)解答:(4)
\(\mathrm {LED}\)から\(\mathrm {A}\)点までの距離\(r\)は,三平方の定理から,
\[
\begin{eqnarray}
r&=&\sqrt {2.4^{2} +1.2^{2}} \\[ 5pt ] &≒&2.683 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,\(\cos \theta _{A}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{A}&=&\frac {2.4}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {2.4}{2.683} \\[ 5pt ] &≒&0.8945 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「2.水平面照度」より,鉛直角\(\theta _{A}\)の方向の光度\(I(\theta _{A} )\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}}&=&\frac {I(\theta _{A} )\cos\theta _{A}}{r^{2}} \\[ 5pt ] 20&=&\frac {I(\theta _{A} )\times 0.8945}{2.683^{2}} \\[ 5pt ] I(\theta _{A} )&≒&161.0 → 160 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
題意より,\(\mathrm {LED}\)直下方向の光度\(I(0)\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I(\theta _{A} )&=&I(0)\cos\theta _{A} \\[ 5pt ] 161.0&=&I(0)\times 0.8945 \\[ 5pt ] I(0)&≒&180.0 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,ワンポイント解説「1.逆2乗の法則」より,床面\(\mathrm {B}\)点の照度\(E_{\mathrm {B}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {B}}&=&\frac {I(0)}{2.4^{2}}\\[ 5pt ] &=&\frac {180.0}{2.4^{2}}\\[ 5pt ] &=&31.25 → 31 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。