《機械》〈照明〉[H27:問16]照度計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図に示すように,\( \ \mathrm {LED} \ \)\( \ 1 \ \)個が,床面から高さ\( \ \mathrm {2.4 \ m} \ \)の位置で下向きに取り付けられ,点灯している。この\( \ \mathrm {LED} \ \)の直下方向となす角(鉛直角)を\( \ \theta \ \)とすると,この\( \ \mathrm {LED} \ \)の配光特性(\( \ \theta \ \)方向の光度\( \ I(\theta ) \ \))は,\( \ \mathrm {LED} \ \)直下方向光度\( \ I( 0 ) \ \)を用いて\( \ I(\theta ) =I( 0 )\cos \theta \ \)で表されるものとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 床面\( \ \mathrm {A} \ \)点における照度が\( \ 20 \ \mathrm {lx} \ \)であるとき,\( \ \mathrm {A} \ \)点がつくる鉛直角\( \ \theta _{A} \ \)の方向の光度\( \ I(\theta _{A} ) \ \)の値\( \ \mathrm {[cd]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 ただし,この\( \ \mathrm {LED} \ \)以外に光源はなく,天井や壁など,周囲からの反射光の影響もないものとする。

   

 (1) \( \ 60 \ \)  (2) \( \ 119 \ \)  (3) \( \ 144 \ \)  (4) \( \ 160 \ \)  (5) \( \ 319 \ \)

(b) この\( \ \mathrm {LED} \ \)直下の床面\( \ \mathrm {B} \ \)点の照度の値\( \ \mathrm {[lx]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 25 \ \)  (2) \( \ 28 \ \)  (3) \( \ 31 \ \)  (4) \( \ 49 \ \)  (5) \( \ 61 \ \)

【ワンポイント解説】

やや計算が複雑な問題ですが,誘導電動機の問題は計算のパターンが少なく,試験にも類題がよく出題されるので,試験日までには確実に理解しておきたいところです。

1.逆\( \ 2 \ \)乗の法則
照度\( \ E \ \)と光度\( \ I \ \)と光源からの距離\( \ r \ \)の間に,
\[
E=\frac {I}{r^{2}}
\] が成立するという法則です。

2.水平面照度
図4における\( \ E_{\mathrm {n}} \ \)を法線照度,\( \ E_{\mathrm {h}} \ \)を水平面照度と言い,下式のような関係があります。照度計で測定される\( \ \mathrm {A} \ \)点の照度は水平面照度\( \ E_{\mathrm {h}} \ \)になります。
\[
E_{\mathrm {n}}=\frac {I_{\theta }}{r^{2}}
\] \[
E_{\mathrm {h}}=E_{\mathrm {\mathrm {n}}}\cos\theta =\frac {I_{\theta }\cos\theta }{r^{2}}
\]

【解答】

(a)解答:(4)
\( \ \mathrm {LED} \ \)から\( \ \mathrm {A} \ \)点までの距離\( \ r \ \)は,三平方の定理から,
\[
\begin{eqnarray}
r&=&\sqrt {2.4^{2} +1.2^{2}} \\[ 5pt ] &≒&2.683 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,\( \ \cos \theta _{A} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta _{A}&=&\frac {2.4}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {2.4}{2.683} \\[ 5pt ] &≒&0.8945 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「2.水平面照度」より,鉛直角\( \ \theta _{A} \ \)の方向の光度\( \ I(\theta _{A} ) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}}&=&\frac {I(\theta _{A} )\cos\theta _{A}}{r^{2}} \\[ 5pt ] 20&=&\frac {I(\theta _{A} )\times 0.8945}{2.683^{2}} \\[ 5pt ] I(\theta _{A} )&≒&161.0 → 160 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
題意より,\( \ \mathrm {LED} \ \)直下方向の光度\( \ I(0) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I(\theta _{A} )&=&I(0)\cos\theta _{A} \\[ 5pt ] 161.0&=&I(0)\times 0.8945 \\[ 5pt ] I(0)&≒&180.0 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,ワンポイント解説「1.逆2乗の法則」より,床面\( \ \mathrm {B} \ \)点の照度\( \ E_{\mathrm {B}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {B}}&=&\frac {I(0)}{2.4^{2}}\\[ 5pt ] &=&\frac {180.0}{2.4^{2}}\\[ 5pt ] &=&31.25 → 31 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。