《機械》〈変圧器〉[H27:問8]変圧器の巻数比の電流計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

一次側の巻数が\(N_{1}\)，二次側の巻数が\(N_{2}\)で製作された，同一仕様3台の単相変圧器がある。これらを用いて一次側を\(\Delta \)結線，二次側を\(\mathrm {Y}\)結線として抵抗負荷，一次側に三相発電機を接続した。発電機を電圧\(440 \ \mathrm {V}\)，出力\(100 \ \mathrm {kW}\)，力率\(1.0\)で運転したところ，二次電流は三相平衡の\(17.5 \ \mathrm {A}\)であった。この単相変圧器の巻数比\(\displaystyle \frac {N_{1}}{N_{2}}\)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，変圧器の励磁電流，インピーダンス及び損失は無視するものとする。

(1)　\(0.13\)　　(2)　\(0.23\)　　(3)　\(0.40\)　　(4)　\(4.3\)　　(5)　\(7.5\)

【ワンポイント解説】

変圧器の巻数比による電流の変化を求めるのと，\(\mathrm {Y-\Delta }\)結線の特徴を理解していないと解けない問題です。ただし，どちらも非常に重要な内容なので，よく理解しておきましょう。

1.変圧器の一次側と二次側電圧と電流の関係
一次側と二次側の巻数比が\(N_{1}：N_{2}\)である時，
\[
\frac {N_{1}}{N_{2}}=\frac {V_{1}}{V_{2}}=\frac {I_{2}}{I_{1}}
\] となります。

【解答】

解答：(2)
問題文の関係を図に示すと，図1のようになる。

発電機の電圧\(V_{1}= 440 \ \mathrm {V}\)と出力\(P_{1}=100 \ \mathrm {kW}\)より，一次電流の大きさ\(I_{1}\)は，力率が1であるから，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1}&=&\frac {P_{1}}{\sqrt{3}V_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\times 10^{3}}{\sqrt{3}\times 440} \\[ 5pt ] &≒&131.2 \ \mathrm {[A]}
\end{eqnarray}
\] となる。ここで，図1に示すように\(\Delta \)巻線に流れる電流を\(\dot {I_{\mathrm {a}}}\)，\(\dot {I_{\mathrm {b}}}\)，\(\dot {I_{\mathrm {c}}}\)とすると，各電流のベクトル図は図2のように描ける。
図2より，\(\Delta \)巻線に流れる電流\(\dot {I_{\mathrm {a}}}\)の大きさ\(I_{\mathrm {a}}\)は\(I_{1}\)の\(\displaystyle \frac {1}{\sqrt {3}}\)倍であるので，
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {a}}&=&\frac {1}{\sqrt {3}}I_{1} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\sqrt {3}}\times 131.2 \\[ 5pt ] &≒&75.75 \ \mathrm {[A]}
\end{eqnarray}
\] となる。
ワンポイント解説「1.変圧器の一次側と二次側電圧と電流の関係」より，巻数比\(\displaystyle \frac {N_{1}}{N_{2}}\)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {N_{1}}{N_{2}}&=&\frac {I_{2}}{I_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {17.5}{75.75} \\[ 5pt ] &≒&0.23
\end{eqnarray}
\] と求められる。