《機械》〈回転機〉[R01:問3]三相誘導電動機の効率に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

\( \ 4 \ \)極の三相誘導電動機が\( \ 60 \ \mathrm {Hz} \ \)の電源に接続され,出力\( \ 5.75 \ \mathrm {kW} \ \),回転速度\( \ 1656 \ \mathrm {{min}^{-1}} \ \)で運転されている。このとき,一次銅損,二次銅損及び鉄損の三つの損失の値が等しかった。このときの誘導電動機の効率の値\( \ \mathrm {[%]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし,その他の損失は無視できるものとする。

 (1) \(76.0\)  (2) \(77.8\)  (3) \(79.3\)  (4) \(80.6\)  (5) \(88.5\)

【ワンポイント解説】

誘導電動機は等価回路を描き解く問題が多いですが,本問は等価回路を使わない代わりに様々な公式を理解しているかを問う問題となっています。

1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
三相誘導電動機の極数が\( \ p \ \),電源の周波数が\( \ f \ \)の時,同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.誘導機の滑り\( \ s \ \)
誘導機の同期速度が\( \ N_{\mathrm {s}} \ \),回転数が\( \ N \ \)である時,誘導機の滑り\( \ s \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係
誘導電動機のL形等価回路は図1のようになります。図1において,\( \ {\dot V}_{1} \ \)は一次側端子電圧,\( \ {\dot I}_{1} \ \)は一次電流,\( \ {\dot I}_{2} \ \)は二次電流,\( \ {\dot I}_{0} \ \)は励磁電流,\( \ r_{1} \ \)は一次巻線抵抗,\( \ r_{2}^{\prime } \ \)は二次巻線抵抗の一次換算,\( \ x_{1} \ \)は一次漏れリアクタンス,\( \ x_{2}^{\prime } \ \)は二次漏れリアクタンスの一次換算,\( \ s \ \)は滑りとなります。
図1より,出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \),二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \),二次入力\( \ P_{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {o}} &=& \frac {1-s}{s}r_{2}^{\prime }I_{2}^{2} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {c2}} &=& r_{2}^{\prime }I_{2}^{2} \\[ 5pt ] P_{2} &=& P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {c2}} =\frac {r_{2}^{\prime }}{s}I_{2}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,誘導電動機の二次入力\( \ P_{2} \ \),出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \),二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)には,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}:P_{\mathrm {o}}:P_{\mathrm {c2}} &=& 1:(1-s):s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があることが分かります。

4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)
三相誘導電動機の一次入力が\( \ P_{\mathrm {1}} \ \),二次入力が\( \ P_{\mathrm {2}} \ \),出力が\( \ P_{\mathrm {o}} \ \),鉄損が\( \ P_{\mathrm {i}} \ \),一次銅損が\( \ P_{\mathrm {c1}} \ \),二次銅損が\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)であった時,各入力,出力の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {2}} &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}} \\[ 5pt ] P_{\mathrm {o}} &=&P_{\mathrm {2}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] &=&P_{\mathrm {1}}-P_{\mathrm {i}}-P_{\mathrm {c1}}-P_{\mathrm {c2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {1}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(3)
ワンポイント解説「1.三相誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)」より,この誘導電動機の同期速度\( \ N_{\mathrm {s}} \ \)
\[
\begin{eqnarray}
N_{\mathrm {s}} &=&\frac {120f}{p} \\[ 5pt ] &=&\frac {120\times 60}{4} \\[ 5pt ] &=&1800 \ \mathrm {[{min}^{-1}]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,ワンポイント解説「2.誘導機の滑り\( \ s \ \)」より,滑り\( \ s \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
s &=&\frac {N_{\mathrm {s}}-N}{N_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1800-1656}{1800} \\[ 5pt ] &=&0.08 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「3.二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係」より,誘導電動機の滑りが\( \ s \ \)の時,二次入力\( \ P_{2} \ \)と出力\( \ P_{\mathrm {o}} \ \)と二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{2}:P_{\mathrm {o}}:P_{\mathrm {c2}} &=&1:\left( 1-s\right) :s \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ P_{\mathrm {o}}=5.75 \ \mathrm {[kW]} \ \)であるので,二次銅損\( \ P_{\mathrm {c2}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
P_{\mathrm {c2}} &=&\frac {s}{1-s}P_{\mathrm {o}} \\[ 5pt ] &=&\frac {0.08}{1-0.08}\times 5.75 \\[ 5pt ] &≒&0.500 \ \mathrm {[kW]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「4.三相誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)」より,誘導電動機の効率\( \ \eta \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+P_{\mathrm {i}}+P_{\mathrm {c1}}+P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり,題意より一次銅損,二次銅損及び鉄損の三つの損失の値は等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
\eta &=&\frac {P_{\mathrm {o}}}{P_{\mathrm {o}}+3P_{\mathrm {c2}}}\times 100 \\[ 5pt ] &=&\frac {5.75}{5.75+3\times 0.500}\times 100 \\[ 5pt ] &≒&79.3 \ \mathrm {[%]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。