《機械》〈自動制御〉[R2:問17]ブロック線図と周波数伝達関数及びボード線図に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図は,ある周波数伝達関数\( \ W\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)のボード線図の一部であり,折れ線近似でゲイン特性を示している。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図のゲイン特性を示す周波数伝達関数として,最も適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
\begin{eqnarray}
&(1)& \ \displaystyle \frac {40}{1+\mathrm {j}\omega } \  &(2)& \ \displaystyle \frac {40}{1+\mathrm {j}0.005\omega } \  &(3)& \ \displaystyle \frac {100}{1+\mathrm {j}\omega } \ \\[ 5pt ] &(4)& \ \displaystyle \frac {100}{1+\mathrm {j}0.005\omega } \  &(5)& \ \displaystyle \frac {100}{1+\mathrm {j}0.5\omega } \  && \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

(b) 図のゲイン特性を示すブロック線図として,最も適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし,入力を\( \ R\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \),出力を\( \ C\left( \mathrm {j}\omega \right) \ \)として,図のゲイン特性を示しているものとする。

【ワンポイント解説】

ボード線図から周波数伝達関数を導出し,さらにブロック線図を導出する問題です。
ブロック線図が与えられて,その周波数伝達関数とボード線図を導出する問題が一般的ですが,逆から求める少しひねった問題と言えるかもしれません。

1.ブロック線図の等価変換
①直列
図1のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \),\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき,全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)G_{2}(s) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
図2のような伝達関数\( \ G_{1}(s) \ \),\( \ G_{2}(s) \ \)が与えられているとき,全体の伝達関数\( \ G(s) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
G(s)&=&\frac {Y(s)}{X(s)}=G_{1}(s)±G_{2}(s) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

③フィードバック
図3のような\( \ G(s) \ \),\( \ H(s) \ \)が与えられているとき,全体の伝達関数\( \ W(s) \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
Y(s)&=&\left\{ X(s) -H(s)Y(s) \right\} G(s) \\[ 5pt ] Y(s)&=&G(s)X(s) -G(s)H(s)Y(s) \\[ 5pt ] Y(s)+G(s)H(s)Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ] \left\{ 1+G(s)H(s)\right\} Y(s) &=&G(s)X(s) \\[ 5pt ] \frac {Y(s)}{X(s)}&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ] W(s)&=&\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.周波数伝達関数のゲイン
周波数伝達関数が\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T} \ \)で与えられる時,この周波数伝達関数の絶対値\( \ \left| W(\mathrm {j}\omega ) \right| \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\left| W(\mathrm {j}\omega ) \right| &=&\left| \frac {K}{1+\mathrm {j}\omega T}\right| \\[ 5pt ] &=&\frac {K}{1+\left( \omega T\right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,この周波数伝達関数のゲイン\( \ g \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| W(\mathrm {j}\omega )\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {K}{\sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} K-20\log _{10} \sqrt {1+\omega ^{2}T^{2}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} K-10\log _{10} \left( 1+\omega ^{2}T^{2}\right) \ \mathrm {[dB]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(5)
ボード線図において,角周波数\( \ \omega =0 \ \)のときゲイン\( \ g =40 \ \)であり,角周波数\( \ \omega =200 \ \)のときゲイン\( \ g =0 \ \)であるから,これを満たす周波数伝達関数を選択すればよい。
(1)について,
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {40}{1+\mathrm {j}\omega }\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
g\left( 0 \right)&=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+0 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10}40≠40 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
g\left( 200 \right)&=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+200 ^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&20\log _{10} \frac {40}{200} \\[ 5pt ] &=&-20\log _{10} 5≠0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり不適切である。
(2)について,
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {40}{1+\mathrm {j}0.005\omega }\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+0.005^{2}\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
g\left( 0 \right)&=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+0 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10}40≠40 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
g\left( 200 \right)&=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {1+0.005^{2}\times 200 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {40}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} 20\sqrt {2}≠0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり不適切である。
(3)について,
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {100}{1+\mathrm {j}\omega }\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
g\left( 0 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10}100 \\[ 5pt ] &=&20\times 2 \\[ 5pt ] &=&40 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
g\left( 200 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+200 ^{2}}} \\[ 5pt ] &≒&20\log _{10} \frac {100}{200} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {1}{2} \\[ 5pt ] &=&-20\log _{10} 2≠0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり不適切である。
(4)について,
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {100}{1+\mathrm {j}0.005\omega }\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0.005^{2}\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
g\left( 0 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10}100 \\[ 5pt ] &=&20\times 2 \\[ 5pt ] &=&40 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
g\left( 200 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0.005^{2}\times 200 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {2}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} 50\sqrt {2}≠0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり不適切である。
(5)について,
\[
\begin{eqnarray}
g&=&20\log _{10} \left| \frac {100}{1+\mathrm {j}0.5\omega }\right| \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0.5^{2}\omega ^{2}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
g\left( 0 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10}100 \\[ 5pt ] &=&20\times 2 \\[ 5pt ] &=&40 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] \[
\begin{eqnarray}
g\left( 200 \right)&=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {1+0.5^{2}\times 200 ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} \frac {100}{\sqrt {10001}} \\[ 5pt ] &≒&20\log _{10} \frac {100}{100} \\[ 5pt ] &=&20\log _{10} 1 \\[ 5pt ] &=&0 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり適切である。したがって,解答は(5)となる。

(b)解答:(4)
ワンポイント解説「1.ブロック線図の等価変換」に沿って,各図の周波数伝達関数\( \ \displaystyle W(\mathrm {j}\omega ) =\frac {C\left( \mathrm {j}\omega \right) }{R\left( \mathrm {j}\omega \right) } \ \)を求めると以下のようになる。
(1)
\[
\begin{eqnarray}
C\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }\cdot 1} \right) \times 40 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega }{\mathrm {j}\omega }} \right) \times 40 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {40}{1+\mathrm {j}\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] ∴ W(\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {40}{1+\mathrm {j}\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,不適切である。

(2)
\[
\begin{eqnarray}
C\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }\cdot 1} \right) \times 100 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}\omega }{\mathrm {j}\omega }} \right) \times 100 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] ∴ W(\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,不適切である。

(3)
\[
\begin{eqnarray}
C\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}0.005\omega }}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}0.005\omega }\cdot 1} \right) \times 100 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}0.005\omega }}{\displaystyle \frac {1+\mathrm {j}0.005\omega }{\mathrm {j}0.005\omega }} \right) \times 100 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}0.005\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] ∴ W(\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}0.005\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,不適切である。

(4)
\[
\begin{eqnarray}
C\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }\cdot 2} \right) \times 200 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{\displaystyle \frac {2+\mathrm {j}\omega }{\mathrm {j}\omega }} \right) \times 200 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {200}{2+\mathrm {j}\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}0.5\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] ∴ W(\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {100}{1+\mathrm {j}0.5\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,適切である。

(5)
\[
\begin{eqnarray}
C\left( \mathrm {j}\omega \right) &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{1+\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }\cdot 0.5} \right) \times 200 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left \{ \left( \frac {\displaystyle \frac {1}{\mathrm {j}\omega }}{\displaystyle \frac {0.5+\mathrm {j}\omega }{\mathrm {j}\omega }} \right) \times 200 \right\} R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {200}{0.5+\mathrm {j}\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {400}{1+\mathrm {j}2\omega } R\left( \mathrm {j}\omega \right) \\[ 5pt ] ∴ W(\mathrm {j}\omega ) &=&\frac {400}{1+\mathrm {j}2\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められ,不適切である。
以上から,解答は(4)となる。