《理論》〈電気回路〉[H23:問7]直流回路の抵抗に流れる電流に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のように，可変抵抗\( \ R_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗\( \ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，電源\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)からなる直流回路がある。次に示す条件\( \ 1 \ \)のときの\( \ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の値と条件\( \ 2 \ \)のときの電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の値は等しくなった。このとき，\( \ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　条件\( \ 1 \ \)：\( \ R_{1}=90 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{2}=6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)
　条件\( \ 2 \ \)：\( \ R_{1}=70 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{2}=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)

　(1)　\( \ 1 \ \)　　(2)　\( \ 2 \ \)　　(3)　\( \ 4 \ \)　　(4)　\( \ 8 \ \)　　(5)　\( \ 12 \ \)

【ワンポイント解説】

直流回路の計算問題です。
分数の形が少しだけ複雑となり，計算量が多めの問題ですが，扱う公式が基本公式なので電験の受験生の場合，多くの受験生が正答を導き出してくる問題かと思います。

1.合成抵抗
抵抗\( \ R_{1} \ \)と\( \ R_{2} \ \)が与えられている時，それぞれの合成抵抗\( \ R \ \)は以下の式で与えられます。

①直列
直列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+R_{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

②並列
並列合成抵抗\( \ R \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R}&=&\frac {1}{R_{1}}+\frac {1}{R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.分圧・分流の法則
①分圧の法則
図1に示した直列回路において，各抵抗にかかる電圧は以下の通りとなります。
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R1}}&=&\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] V_{\mathrm {R2}}&=&\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}E \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

②分流の法則
図2に示した並列回路において，各抵抗に流れる電流は以下の通りとなります。分子の抵抗が分圧の法則と逆となることに注意して下さい。
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {R1}}&=&\frac {\color{red}{R_{2}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] I_{\mathrm {R2}}&=&\frac {\color{red}{R_{1}}}{R_{1}+R_{2}}I \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【解答】

解答：(4)
問題図の回路の合成抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「1.合成抵抗」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R&=&R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，電源\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)に流れる電流\( \ I_{0} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{0}&=&\frac {E}{R} \\[ 5pt ] &=&\frac {E}{\displaystyle R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「2.分圧・分流の法則」の分流の法則より，\( \ R_{\mathrm {x}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I&=&\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}I_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}\cdot \frac {E}{\displaystyle R_{1}+\frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E}{\displaystyle \left( R_{2}+R_{\mathrm {x}}\right) \cdot R_{1}+\left( R_{2}+R_{\mathrm {x}}\right) \cdot \frac {R_{2}R_{\mathrm {x}}}{R_{2}+R_{\mathrm {x}}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}E}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{\mathrm {x}}+R_{2}R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。条件\( \ 1 \ \)及び条件\( \ 2 \ \)にて\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の値が等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {6E}{90\times 6+90R_{\mathrm {x}}+6R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {4E}{70\times 4+70R_{\mathrm {x}}+4R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \frac {6}{540+96R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {4}{280+74R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] \frac {1}{90+16R_{\mathrm {x}}}&=&\frac {2}{140+37R_{\mathrm {x}}} \\[ 5pt ] 140+37R_{\mathrm {x}}&=&2\left( 90+16R_{\mathrm {x}}\right) \\[ 5pt ] &=&180+32R_{\mathrm {x}} \\[ 5pt ] 5R_{\mathrm {x}}&=&40 \\[ 5pt ] R_{\mathrm {x}}&=&8 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。