《理論》〈電磁気〉[H27:問1]平行平板コンデンサの公式に関する論説問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

平行平板コンデンサにおいて，極板間の距離，静電容量，電圧，電界をそれぞれ\(d \ \mathrm {[m]}\)，\(C \ \mathrm {[F]}\)，\(V \ \mathrm {[V]}\)，\(E \ \mathrm {[V/m]}\)，極板上の電荷を\(Q \ \mathrm {[C]}\)とするとき，誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

ただし，極板の面積及び極板間の誘電率は一定であり，コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1)　\(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(C\)は減少する。

(2)　\(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(E\)は上昇する。

(3)　\(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(V\)は上昇する。

(4)　\(V\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(E\)は減少する。

(5)　\(V\)を一定として\(d\)を大きくすると，\(Q\)は減少する。

【ワンポイント解説】

平行平板コンデンサの基本公式を理解し，変形できるかどうかを問う問題です。本問に出てくる基本公式は確実に理解しておいて下さい。

1.平行平板コンデンサの電荷\(Q\)と静電容量\(C\)，電圧\(V\)の関係
静電容量\(C\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけ，十分時間が経った時に蓄えられる電荷\(Q\)は，
\[
Q=CV
\] となります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出
平行平板コンデンサの極板の面積を\(S\)，極板間の距離を\(d\)，極板間の誘電率を\(\varepsilon \)とすると平行平板コンデンサの静電容量\(C\)は，
\[
C=\frac {\varepsilon S}{d}
\] となります。

3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係
極板間の距離\(d\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけると，極板間の電界\(E\)は，
\[
E=\frac {V}{d}
\] となります。

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　　平行平板コンデンサの静電容量まとめ

【解答】

解答：(2)
(1)：正しい
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出」の通り，
\[
C=\frac {\varepsilon S}{d}
\] の関係があるから，\(d\)を大きくすると，\(C\)は\(d\)に反比例して小さくなります。

(2)：誤り
ワンポイント解説より，\(Q=CV\)の式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot Ed \\[ 5pt ] &=&\varepsilon SE
\end{eqnarray}
\] となるので，\(E\)は\(d\)の大きさとは無関係である。

(3)：正しい
(2)と同様に\(Q=CV\)の式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot V \\[ 5pt ] V&=&\frac {Qd}{\varepsilon S}
\end{eqnarray}
\] となるので，\(d\)を大きくすると\(V\)は\(d\)に比例して上昇する。

(4)：正しい
ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係」の通り，\(d\)を大きくすると\(E\)は\(d\)に反比例して減少する。

(5)：正しい
\(Q=CV\)の式を変形すると，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot V \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon SV}{d}
\end{eqnarray}
\] となるので，\(d\)を大きくすると\(Q\)は\(d\)に反比例して減少する。