《理論》〈電磁気〉[H27:問1]平行平板コンデンサの公式に関する論説問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

平行平板コンデンサにおいて,極板間の距離,静電容量,電圧,電界をそれぞれ\(d \ \mathrm {[m]}\),\(C \ \mathrm {[F]}\),\(V \ \mathrm {[V]}\),\(E \ \mathrm {[V/m]}\),極板上の電荷を\(Q \ \mathrm {[C]}\)とするとき,誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

ただし,極板の面積及び極板間の誘電率は一定であり,コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると,\(C\)は減少する。

(2) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると,\(E\)は上昇する。

(3) \(Q\)を一定として\(d\)を大きくすると,\(V\)は上昇する。

(4) \(V\)を一定として\(d\)を大きくすると,\(E\)は減少する。

(5) \(V\)を一定として\(d\)を大きくすると,\(Q\)は減少する。

【ワンポイント解説】

平行平板コンデンサの基本公式を理解し,変形できるかどうかを問う問題です。本問に出てくる基本公式は確実に理解しておいて下さい。

1.平行平板コンデンサの電荷\(Q\)と静電容量\(C\),電圧\(V\)の関係
静電容量\(C\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけ,十分時間が経った時に蓄えられる電荷\(Q\)は,
\[
Q=CV
\] となります。

2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出
平行平板コンデンサの極板の面積を\(S\),極板間の距離を\(d\),極板間の誘電率を\(\varepsilon \)とすると平行平板コンデンサの静電容量は,
\[
C=\frac {\varepsilon S}{d}
\] となります。

3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係
極板間の距離\(d\)の平行平板コンデンサに電圧\(V\)をかけると,極板間の電界\(E\)は,
\[
E=\frac {V}{d}
\] となります。

【解答】

解答:(2)
(1):正しい
ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量\(C\)の導出」の通り,
\[
C=\frac {\varepsilon S}{d}
\] の関係があるから,\(d\)を大きくすると,\(C\)は\(d\)に反比例して小さくなります。

(2):誤り
ワンポイント解説より,\(Q=CV\)の式を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot Ed \\[ 5pt ] &=&\varepsilon SE
\end{eqnarray}
\] となるので,\(E\)は\(d\)の大きさとは無関係である。

(3):正しい
(2)と同様に\(Q=CV\)の式を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot V \\[ 5pt ] V&=&\frac {Qd}{\varepsilon S}
\end{eqnarray}
\] となるので,\(d\)を大きくすると\(V\)は\(d\)に比例して上昇する。

(4):正しい
ワンポイント解説「3.平行平板コンデンサの電界\(E\)と電圧\(V\)の関係」の通り,\(d\)を大きくすると\(E\)は\(d\)に反比例して減少する。

(5):正しい
\(Q=CV\)の式を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon S}{d}\cdot V \\[ 5pt ] &=&\frac {\varepsilon SV}{d}
\end{eqnarray}
\] となるので,\(d\)を大きくすると\(Q\)は\(d\)に反比例して減少する。