《理論》〈電気回路〉[R4下:問9]容量性リアクタンスを含む交流回路の消費電力に関する計算問題

Contents

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図のような\( \ RC \ \)交流回路がある。この回路に正弦波交流電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)を加えたとき，容量性リアクタンス\( \ 6 \ \Omega \ \)のコンデンサの端子間電圧の大きさは\( \ 12 \ \mathrm {V} \ \)であった。このとき，\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)と図の破線で囲んだ回路で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)の値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccc}
& E \ \mathrm {[V]} & P \ \mathrm {[W]} \\
\hline
(1) & 　20　 & 　32　 \\
\hline
(2) & 　20　 & 　96　 \\
\hline
(3) & 　28　 & 　120　 \\
\hline
(4) & 　28　 & 　168　 \\
\hline
(5) & 　40　 & 　309　 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

容量性リアクタンスを含む交流回路の電源電圧と消費電力を求める問題です。
並列に接続されている抵抗とリアクタンスの関係がどちらも\( \ 4:3 \ \)であり，抵抗に加わる電圧が等しいことに気付くことができると幾分解きやすくなるかと思います。
一気に求めようとせず，落ち着いてベクトル図を描いて解くようにしましょう。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図1～図3となります。

2.有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)
抵抗で消費される電力を有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，リアクタンスで消費もしくは供給される電力を無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)と呼び，図4のようにベクトル図を描きます。さらに，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)と無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)のベクトル和は皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)と呼ばれ，
\[
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt {P^{2}+Q^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があります。図4において，力率は\( \ \cos \theta \ \)で定義され，
\[
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=&\frac {P}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

また，線路に電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)が流れているとき，皮相電力\( \ S \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)，有効電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)，無効電力\( \ Q \ \mathrm {[var]} \ \)は，インピーダンスを\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，抵抗を\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，リアクタンスを\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
S &=&ZI^{2} \\[ 5pt ] P &=&RI^{2} \\[ 5pt ] Q &=&XI^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるため，\( \ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に関しても電力と同様な図5のような関係を描くことができます。

【解答】

解答：(2)
\( \ R_{1}=8 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と\( \ X_{\mathrm {C1}}=6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の容量性リアクタンスに流れる電流の大きさは等しいので，抵抗の電圧\( \ V_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)，コンデンサの電圧\( \ V_{\mathrm {C}} \ \mathrm {[V]} \ \)のベクトル図は図6のようになる。

これより，抵抗の電圧\( \ V_{\mathrm {R}} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {R}} &=&R_{1}I \\[ 5pt ] &=&R_{1}\cdot \frac {V_{\mathrm {C}}}{X_{\mathrm {C1}}} \\[ 5pt ] &=&8\times \frac {12}{6} \\[ 5pt ] &=&16 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって，電源の電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，三平方の定理より，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\sqrt {V_{\mathrm {R}}^{2}+V_{\mathrm {C}}^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {16^{2}+12^{2}} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。次に，\( \ R_{2}=4 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と\( \ X_{\mathrm {C2}}=3 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の容量性リアクタンスの大きさの比は\( \ 4:3 \ \)であるため，それぞれに加わる電圧も\( \ R_{1}=8 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と\( \ X_{\mathrm {C1}}=6 \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)のリアクタンスと等しくなる。以上から，抵抗で消費される電力\( \ P \ \mathrm {[W]} \ \)の合計は，
\[
\begin{eqnarray}
P &=&\frac {V_{\mathrm {R}}^{2}}{R_{1}}+\frac {V_{\mathrm {R}}^{2}}{R_{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {16^{2}}{8}+\frac {16^{2}}{4} \\[ 5pt ] &=&96 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。