《理論》〈電気回路〉[R05下:問8]RLC直列回路の共振周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

図のような交流回路において，電源の周波数を変化させたところ，共振時のインダクタンス\( \ L \ \)の端子電圧\( \ V_{\mathrm {L}} \ \)は\( \ 314 \ \mathrm {V} \ \)であった。共振周波数の値\( \ \mathrm {[kHz]} \ \)として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 2.0 \ \)　　(2)　\( \ 2.5 \ \)　　(3)　\( \ 3.0 \ \)　　(4)　\( \ 3.5 \ \)　　(5)　\( \ 4.0 \ \)　　

【ワンポイント解説】

端子電圧から直列共振回路の共振周波数を求める問題です。
回路図を見て直列共振時のインピーダンスがパッとわかるかが得点できるかの分かれ目となります。
本問はやや古いですが平成9年問8からの再出題となります。

1.直列回路の共振回路
図1のような\( \ RLC \ \)直列回路があった場合の合成インピーダンス\( \ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，角周波数を\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&R+\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] &=&R+\mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，インピーダンスが最も小さくなるためには，上式の虚数部が零である必要があります。よって，共振角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega_{\mathrm {c}} L -\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C}&=&0 \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} L &=&\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}}^{2} &=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，共振周波数を\( \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると，\( \ \omega _{\mathrm {c}}=2\pi f_{\mathrm {c}} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.並列回路の共振回路
図2のような\( \ RLC \ \)並列回路があった場合の合成アドミタンス\( \ \dot Y \ \mathrm {[S]} \ \)は，角周波数を\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
\dot Y&=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\omega C +\frac {1}{\mathrm {j}\omega L} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right)
\end{eqnarray}
\] となり，アドミタンスが最も小さくなるためには，上式の虚数部が零である必要があります。よって，共振角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \mathrm {[rad / s]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega_{\mathrm {c}} C -\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} L}&=&0 \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} C &=&\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} L} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}}^{2} &=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。また，共振周波数を\( \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ \)とすると，\( \ \omega _{\mathrm {c}}=2\pi f_{\mathrm {c}} \ \)より，
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{2\pi \sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答：(2)
直列共振時は回路のインピーダンスが最も小さくなり抵抗分のみとなるので，回路を流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=& \frac {1}{R} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{0.5} \\[ 5pt ] &=& 2 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって，共振時の\( \ V_{\mathrm {L}}=314 \ \mathrm {[V]} \ \)より，共振周波数\( \ f_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[Hz]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {L}} &=& 2\pi f_{\mathrm {c}}LI \\[ 5pt ] f_{\mathrm {c}}&=& \frac {V_{\mathrm {L}}}{2\pi LI } \\[ 5pt ] &=& \frac {314}{2\pi \times 10\times 10^{-3}\times 2} \\[ 5pt ] &≒& 2 \ 500 \ \mathrm {[Hz]}　→　2.5 \ \mathrm {[kHz]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。