《理論》〈電子回路〉[H29:問18]演算増幅器に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★★(難しい)

演算増幅器を用いた回路のついて,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 図1の回路の電圧増幅度\(\displaystyle \frac {v_{0}}{v_{i}}\)を3とするためには,\(\alpha \)をいくらにする必要があるか。\(\alpha \)の値として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 0.3  (2) 0.5  (3) 1  (4) 2  (5) 3

(b) 図2の回路は,図1の回路に,帰還回路として2個の\(5\mathrm {k\Omega }\)の抵抗と2個の\(0.1\mathrm {\mu F} \)のコンデンサを追加した発振回路である。発振の条件を用いて発振周波数の値\(\mathrm {f\left[ kHz\right] }\)を求め,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 0.2  (2) 0.3  (3) 0.5  (4) 2  (5) 3

【ワンポイント解説】

(a)はそれほど難しい問題ではありませんが,(b)の発振回路の発振条件の問題は,二種もしくは一種レベルの問題と思います。選択問題なので,本問ではなく問17を選択することも可能です。(a)の内容は三種でも頻出問題となりますので,よく理解しておきましょう。

1.理想的なオペアンプの特徴
 1.電圧増幅率が無限大である。したがって,無限大でない有限数が出力される時,入力端子間の電圧は\(0\mathrm {V}\)(バーチャルショート)となる。
 2.入力インピーダンスが無限大である。したがって入力端子に電流は流れない。
 3.出力インピーダンスがゼロである。

2.発振回路の発振条件
図3の回路において,演算増幅器\(A\)と帰還回路\(\beta \)とした時,
  ①\(A\beta ≧0\)
  ②\(A\beta \)の位相角が零
となるとき,発振回路は発振を継続する。オペアンプにおいては\(A=\infty \)なので,②のみ満たせばよい。

【解答】

(a)解答:(4)
理想的なオペアンプの特性から,演算増幅器入口の電位は図1-1の通りとなる。
図1-1に示した通り,\(\alpha R\)に流れる電流\(I\)とすると,
\[
I=\frac {v_{i}}{R}      ・・・①
\] となり,\(v_{o}\)との関係は,
\[
v_{o}-v_{i}=\alpha RI  ・・・②
\] となるため,\(v_{o}=3v_{i}\)及び①を②に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
&&3v_{i}-v_{i} &=& \alpha R\frac {v_{i}}{R} \\[ 5pt ] &⇔&   \alpha &=& 2
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(2)
図2の演算増幅器と帰還回路を示すと,図2-1のようになる。
この時,帰還回路の帰還率\(\beta \)とすると,
\[
\beta =\frac {v_{i}}{v_{o}}
\] となる。さて,図2-2の回路において,\(R=5\mathrm {k\Omega }\)と\(C=0.1\mathrm {\mu F }\)の直列合成インピーダンス\(Z_{s}\)及び並列合成インピーダンス\(Z_{p}\)は,
\[
Z_{s}=R+\frac {1}{j2\pi f C}
\] \[
Z_{p}=\frac {R\cdot \frac {1}{j2\pi f C}}{R+\frac {1}{j2\pi f C}}=\frac {R}{1+j2\pi f CR}
\] と表すことができる。ここで,\(v_{i}\)を\(Z_{s}\),\(Z_{p}\),\(v_{o}\)で表すと,
\[
v_{i}=\frac {Z_{p}}{Z_{s}+Z_{p}}v_{o}
\] となるから,\(\beta \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\beta &=& \frac {v_{i}}{v_{o}}=\frac {Z_{p}}{Z_{s}+Z_{p}} \\[ 5pt ] &=& \frac {\frac {R}{1+j2\pi f CR}}{R+\frac {1}{j2\pi f C}+\frac {R}{1+j2\pi f CR}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R}{\frac {\left( 1+j2\pi f CR\right) ^{2}}{j2\pi f C}+R} \\[ 5pt ] &=& \frac {R}{3R+j\left( 2\pi f CR^{2}-\frac {1}{2\pi f C}\right)} \\[ 5pt ] &=& \frac {1}{3+j\left( 2\pi f CR-\frac {1}{2\pi f CR}\right)}
\end{eqnarray}
\] と求められる。ここで,発振回路の発振条件はワンポイント解説「2.発振回路の発振条件」より,\(A\beta \)の位相角が零の時である。ここで,\(A\)は実数であるから,\(\beta \)も実数とならなければならない。よって,\(\beta \)の虚数部が0となるため,
\[
2\pi f CR-\frac {1}{2\pi f CR}=0
\] となる。これを\(f\)について解くと,
\[
\begin{eqnarray}
\left( 2\pi f CR\right) ^{2} &=& 1\\[ 5pt ] 2\pi f CR &=& 1\\[ 5pt ] f &=& \frac {1}{2\pi CR}
\end{eqnarray}
\] と求められる。各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
f &=& \frac {1}{2\times 3.14\times 0.1\times 10^{-6}\times 5\times 10^{3}} \\[ 5pt ] &≒& 0.3\times 10^{3}\mathrm {Hz} \\[ 5pt ] &=&0.3\mathrm {kHz}
\end{eqnarray}
\] となる。