《理論》〈電気回路〉[H28:問9]共振周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のように,\(R=1\Omega \)の抵抗,インダクタンス\(L_{1}=0.4\mathrm {mH}\),\(L_{2}=0.2\mathrm {mH}\)のコイル,及び静電容量\(C=8\mathrm {\mu F}\)のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧\(V=100\mathrm {V}\)を加えたとき,回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振周波数\(\omega _{1}\)の値\(\mathrm {[ rad/s ] }\)及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振周波数\(\omega _{2}\)の値\(\mathrm {[ rad/s ] }\)の組合せとして,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

【ワンポイント解説】

共振は電源電圧と電流が同位相になる状態を言い,直列共振ではインピーダンスが0,並列共振ではインピーダンスが∞(=アドミタンスが0)の状態となります。計算がやや面倒な問題ですが,落ち着いて解くようにしましょう。

1.直列回路の共振回路
図1のような\(RLC\)直列回路があった場合の合成インピーダンス\(\dot Z\)は,角周波数を\(\omega \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&R+j\omega L +\frac {1}{j\omega C} \\[ 5pt ] &=&R+j\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right)
\end{eqnarray}
\] となり,インピーダンスが最も小さくなるためには,上式の虚数部が零である必要があります。よって,共振角周波数\(\omega _{c}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
&&\omega_{c} L -\frac {1}{\omega_{c} C}&=&0 \\[ 5pt ] &⇔&    \omega_{c} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}}
\end{eqnarray}
\] となります。

2.並列回路の共振回路
図2のような\(RLC\)並列回路があった場合の合成アドミタンス\(\dot Y\)は,角周波数を\(\omega \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Y&=&\frac {1}{R}+j\omega C +\frac {1}{j\omega L} \\[ 5pt ] &=&R+j\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right)
\end{eqnarray}
\] となり,アドミタンスが最も小さくなるためには,上式の虚数部が零である必要があります。よって,共振角周波数\(\omega _{c}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
&&\omega_{c} C -\frac {1}{\omega_{c} L}&=&0 \\[ 5pt ] &⇔&    \omega_{c} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(5)
①直列共振角周波数\(\omega _{1}\)
\(C\)と\(L_{2}\)の合成インピーダンスは,
\[
\frac {j\omega L_{2} \frac {1}{j\omega C}}{j\omega L_{2} +\frac {1}{j\omega C}} =\frac {j\omega L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C}
\] となるので,回路の合成インピーダンス\(\dot Z\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&R+j\omega L_{1}+\frac {j\omega L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C} \\[ 5pt ] &=&R+j\omega \left( L_{1}+\frac {L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C}\right)
\end{eqnarray}
\] と求められる。よって,直列共振するためには上式の虚数部が零となれば良いので,
\[
\begin{eqnarray}
L_{1}+\frac {L_{2}}{1-\omega _{1}^{2}L_{2}C} &=&0 \\[ 5pt ] \omega _{1}^{2}L_{1}L_{2}C-L_{1}&=&L_{2} \\[ 5pt ] \omega _{1}&=& \sqrt{\frac {L_{1}+L_{2}}{L_{1}L_{2}C}}
\end{eqnarray}
\] となり,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{1} &=&\sqrt{\frac {0.4\times 10^{-3}+0.2\times 10^{-3}}{0.4\times 10^{-3}\times 0.2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-6}}} \\[ 5pt ] &≒&3.1\times 10^{4} \mathrm {[ rad/s ]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

②並列共振角周波数\(\omega _{2}\)
並列共振するためには\(C\)と\(L_{2}\)の合成アドミタンスが零となればよい。\(C\)と\(L_{2}\)の合成アドミタンスは,
\[
j\omega C+\frac {1}{j\omega L_{2}}=j\left( \omega C-\frac {1}{\omega L_{2}}\right)
\] と求められるので,並列共振周波数\(\omega _{2}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{2} &=&\frac {1}{\sqrt{L_{2}C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\sqrt{0.2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-6}}} \\[ 5pt ] &=&2.5\times 10^{4} \mathrm {[ rad/s ]}
\end{eqnarray}
\] となる。