《理論》〈電気回路〉[H28:問9]共振周波数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

図のように,\( \ R=1 \ \Omega \ \)の抵抗,インダクタンス\( \ L_{1}=0.4 \ \mathrm {mH} \ \),\( \ L_{2}=0.2 \ \mathrm {mH} \ \)のコイル,及び静電容量\( \ C=8 \ \mathrm {\mu F} \ \)のコンデンサからなる直並列回路がある。この回路に交流電圧\( \ V=100 \ \mathrm {V} \ \)を加えたとき,回路のインピーダンスが極めて小さくなる直列共振周波数\( \ \omega _{1} \ \)の値\( \ \mathrm {[ rad/s ] } \ \)及び回路のインピーダンスが極めて大きくなる並列共振周波数\( \ \omega _{2} \ \)の値\( \ \mathrm {[ rad/s ] } \ \)の組合せとして,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccc}
& \omega _{1} & \omega _{2} \\
\hline
(1) &  2.5\times 10^{4}  &  3.5\times 10^{3}  \\
\hline
(2) & 2.5\times 10^{4} & 3.1\times 10^{4} \\
\hline
(3) & 3.5\times 10^{3} & 2.5\times 10^{4} \\
\hline
(4) & 3.1\times 10^{4} & 3.5\times 10^{3} \\
\hline
(5) & 3.1\times 10^{4} & 2.5\times 10^{4} \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

共振は電源電圧と電流が同位相になる状態を言い,直列共振ではインピーダンスが\( \ 0 \ \),並列共振ではインピーダンスが\( \ \infty \ \)(=アドミタンスが\( \ 0 \ \))の状態となります。計算がやや面倒な問題ですが,落ち着いて解くようにしましょう。

1.直列回路の共振回路
図1のような\( \ RLC \ \)直列回路があった場合の合成インピーダンス\( \ \dot Z \ \)は,角周波数を\( \ \omega \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&R+\mathrm {j}\omega L +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] &=&R+\mathrm {j}\left( \omega L -\frac {1}{\omega C}\right)
\end{eqnarray}
\] となり,インピーダンスが最も小さくなるためには,上式の虚数部が零である必要があります。よって,共振角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega_{\mathrm {c}} L -\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C}&=&0 \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} L &=&\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} C} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}}^{2} &=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

2.並列回路の共振回路
図2のような\( \ RLC \ \)並列回路があった場合の合成アドミタンス\( \ \dot Y \ \)は,角周波数を\( \ \omega \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Y&=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\omega C +\frac {1}{\mathrm {j}\omega L} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{R}+\mathrm {j}\left( \omega C -\frac {1}{\omega L}\right)
\end{eqnarray}
\] となり,アドミタンスが最も小さくなるためには,上式の虚数部が零である必要があります。よって,共振角周波数\( \ \omega _{\mathrm {c}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega_{\mathrm {c}} C -\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} L}&=&0 \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} C &=&\frac {1}{\omega_{\mathrm {c}} L} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}}^{2} &=&\frac {1}{LC} \\[ 5pt ] \omega_{\mathrm {c}} &=& \frac {1}{\sqrt {LC}}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

解答:(5)
①直列共振角周波数\(\omega _{1}\)
\(C\)と\(L_{2}\)の合成インピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2} \cdot \frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}{\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2} +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}} &=&\frac {\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2} }{\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2} +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}}\times \frac {1}{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2} }{\displaystyle \mathrm {j}\omega L_{2}\times \mathrm {j}\omega C +\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}\times \mathrm {j}\omega C } \\[ 5pt ] &=&\frac {\mathrm {j}\omega L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,回路の合成インピーダンス\( \ \dot Z \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z &=&R+\mathrm {j}\omega L_{1}+\frac {\mathrm {j}\omega L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C} \\[ 5pt ] &=&R+\mathrm {j}\omega \left( L_{1}+\frac {L_{2}}{1-\omega ^{2}L_{2}C}\right)
\end{eqnarray}
\] と求められる。よって,直列共振するためには上式の虚数部が零となれば良いので,
\[
\begin{eqnarray}
L_{1}+\frac {L_{2}}{1-\omega _{1}^{2}L_{2}C} &=&0 \\[ 5pt ] L_{1} &=&\frac {L_{2}}{\omega _{1}^{2}L_{2}C-1} \\[ 5pt ] L_{1}\left( \omega _{1}^{2}L_{2}C-1\right) &=&L_{2} \\[ 5pt ] \omega _{1}^{2}L_{1}L_{2}C-L_{1}&=&L_{2} \\[ 5pt ] \omega _{1}^{2}L_{1}L_{2}C&=&L_{1}+L_{2} \\[ 5pt ] \omega _{1}&=& \sqrt{\frac {L_{1}+L_{2}}{L_{1}L_{2}C}}
\end{eqnarray}
\] となり,各値を代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{1} &=&\sqrt{\frac {0.4\times 10^{-3}+0.2\times 10^{-3}}{0.4\times 10^{-3}\times 0.2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-6}}} \\[ 5pt ] &≒&3.1\times 10^{4} \ \mathrm {[ rad/s ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

②並列共振角周波数\( \ \omega _{2} \ \)
並列共振するためには\( \ C \ \)と\( \ L_{2} \ \)の合成アドミタンスが零となればよい。\( \ C \ \)と\( \ L_{2} \ \)の合成アドミタンスは,
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {j}\omega C+\frac {1}{\mathrm {j}\omega L_{2}}&=&\mathrm {j}\left( \omega C-\frac {1}{\omega L_{2}}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められるので,並列共振周波数\( \ \omega _{2} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\omega _{2} &=&\frac {1}{\sqrt{L_{2}C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{\sqrt{0.2\times 10^{-3}\times 8\times 10^{-6}}} \\[ 5pt ] &=&2.5\times 10^{4} \ \mathrm {[ rad/s ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。