《理論》〈電気回路〉[R07下:問9]回路の電流値変化からの未知の抵抗値の導出に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

図1のような抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と誘導性リアクタンス\( \ X \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)との直列回路がある。この回路に正弦波交流電圧\( \ E=100 \ \mathrm {V} \ \)を加えたとき，回路に流れる電流は\( \ 10 \ \mathrm {A} \ \)であった。この回路に図2のように，更に抵抗\( \ 11 \ \mathrm {\Omega } \ \)を直列接続したところ，回路に流れる電流は\( \ 5 \ \mathrm {A} \ \)になった。抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　\( \ 16.7 \ \)　　(2)　\( \ 5.5 \ \)　　(3)　\( \ 11.4 \ \)　　(4)　\( \ 8.6 \ \)　　(5)　\( \ 8.1 \ \)

【ワンポイント解説】

回路に流れる電流値の変化から未知の抵抗値を求める問題です。
電気回路の公式自体は難解なものを使用せず，計算力が問われている問題です。慣れの要素が強い問題なので，確実にできるようになりましょう。
本問は平成16年問8の再出題となります。

1.抵抗，コイル，コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \)，コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり，電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき，それぞれのインピーダンスは，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ，それぞれの電圧と電流の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと，図3～図5となります。

【解答】

解答：(5)
図1及び図2の回路のインピーダンス\( \ Z_{1} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)及び\( \ Z_{2} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1}&=&\sqrt {R^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ] Z_{2}&=&\sqrt {\left( R+11\right)^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，交流電圧\( \ E=100 \ \mathrm {V} \ \)及び各電流値から，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1}&=&\frac {E}{10} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{10} \\[ 5pt ] &=&10 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] Z_{2}&=&\frac {E}{5} \\[ 5pt ] &=&\frac {100}{5} \\[ 5pt ] &=&20 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるので，
\[
\begin{eqnarray}
10&=&\sqrt {R^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ] 20&=&\sqrt {\left( R+11\right)^{2}+X^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。両辺を\( \ 2 \ \)乗すると，
\[
\begin{eqnarray}
100&=&R^{2}+X^{2}　&・・・・・・・・・・　①& \\[ 5pt ] 400&=&\left( R+11\right)^{2}+X^{2}　&・・・・・・・・・・　②& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，\( \ ②-① \ \)をし，式を整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
300&=&\left( R+11\right)^{2}-R^{2} \\[ 5pt ] &=&R^{2}+22R+121-R^{2} \\[ 5pt ] &=&22R+121 \\[ 5pt ] 22R&=&179 \\[ 5pt ] R&≒&8.14 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。