《理論》〈電磁気〉[H28:問1]点電荷の等電位面に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

真空中において,図のように\(x\)軸上で距離\(3d\mathrm {[m]}\)隔てた点\(\mathrm {A} \left( 2d,0\right) \),点\(\mathrm {B} \left( -d,0\right) \)にそれぞれ\(2Q\mathrm {[ C ] }\) ,\(-Q\mathrm {[ C ] }\)の点電荷が置かれている。\(xy\)平面上で電位が\(\mathrm {0V}\)となる等電位線を表す図として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

【ワンポイント解説】

点電荷に関する問題で,参考書にも最初の方に出てくる内容ですが,電験となるとこういう問題はなかなか簡単にしてくれません。

1.静電界における電位
静電界中に点電荷\(Q\)がある時,\(Q\)から距離\(r\)離れた場所の電位\(V\)は,誘電率を\(\varepsilon \)とすると,
\[
V=\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}
\] となる。

【解答】

解答:(4)
図1のように,任意の点Pにおける電位を求めると,
\[
V=\frac {-Q}{4\pi \varepsilon r_{1}}+\frac {2Q}{4\pi \varepsilon r_{2}}
\] となる。ここで電位が0となるためには,
\[
\begin{eqnarray}
&&\frac {-Q}{4\pi \varepsilon r_{1}}+\frac {2Q}{4\pi \varepsilon r_{2}}&=&0 \\[ 5pt ] &⇔&       \frac {2}{r_{2}}&=&\frac {1}{r_{1}} \\[ 5pt ] &⇔&       r_{2}&=&2r_{1}
\end{eqnarray}
\] ここで,\(r_{1}= \sqrt {(d+x) ^{2}+y^{2}}\),\(r_{2}=\sqrt { (2d-x) ^{2}+y^{2}}\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
&&          r_{2}&=&2r_{1} \\[ 5pt ] &⇔&  \sqrt { (2d-x) ^{2}+y^{2}}&=&2\sqrt {(d+x) ^{2}+y^{2}} \\[ 5pt ] &⇔&   (2d-x) ^{2}+y^{2}&=&4\left( (d+x) ^{2}+y^{2}\right) \\[ 5pt ] &⇔&4d^{2}-4dx+x^{2}+y^{2}&=&4d^{2}+8dx+4x^{2}+4y^{2} \\[ 5pt ] &⇔&  3x^{2}+12dx+3y^{2}&=&0 \\[ 5pt ] &⇔&   x^{2}+4dx+y^{2}&=&0 \\[ 5pt ] &⇔&   \left( x+2d\right) ^{2}+y^{2}&=&\left( 2d\right) ^{2}
\end{eqnarray}
\] よって,等電位線は\( (-2d,0) \)を中心とした半径\(2d\)の線となる。