《理論》〈電気回路〉[H27:問2]交流回路の電流及び電圧の計算方法に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,交流回路の電流及び電圧の計算方法に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図の回路において,重ね合わせの理(重ねの理)を用いて,抵抗に流れる電流\( \ i_{\mathrm {R}}(t) \ \),キャパシタの両端の電圧\( \ v_{\mathrm {C}}(t) \ \)を求めたい。

ただし,交流電圧源\( \ e(t)=E_{\mathrm {m}}\cos \omega _{1} t \ \),交流電流源\( \ i(t)=I_{\mathrm {m}}\sin \omega _{2} t \ \)とする。

抵抗に流れる電流\( \ i_{\mathrm {R}}(t) \ \)は,電流の向きを考えると,
\[
i_{\mathrm {R}}(t)=I_{\mathrm {e}}\cos (\omega _{1}t+\varphi _{\mathrm {e}})-I_{\mathrm {i}}\sin (\omega _{2}t+\varphi _{\mathrm {i}})
\] と表すことが出来る。電圧源のみで考えると,\( \ I_{\mathrm {e}}=\fbox {  (1)  } \ \),電流源のみで考えると\( \ I_{\mathrm {i}}=\fbox {  (2)  } \ \)となる。

同様に,キャパシタの両端の電圧\( \ v_{\mathrm {C}}(t) \ \)を,電圧源,電流源それぞれについて求めると,
\[
v_{\mathrm {C}}(t)=V_{\mathrm {e}}\cos (\omega _{1}t+\phi _{\mathrm {e}})+V_{\mathrm {i}}\sin (\omega _{2}t+\phi _{\mathrm {i}})
\] と表すことができる。ここで,\( \ \displaystyle -\frac {\pi }{2} < \phi _{\mathrm {e}} < \frac {\pi }{2} \ \)とする。

このとき,\( \ V_{\mathrm {e}}=\fbox {  (3)  } \ \),\( \ \phi _{\mathrm {e}}=\fbox {  (4)  } \ \),\( \ V_{\mathrm {i}}=\fbox {  (5)  } \ \)となる。

〔問2の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{1}CR}   &(ロ)& \frac {\omega _{2}CRI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}   &(ハ)& \frac {\pi }{2}-\tan ^{-1}\omega _{1}CR \\[ 5pt ] &(ニ)& \frac {RI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}   &(ホ)& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}   &(ヘ)& \omega _{1}CE_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &(ト)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{R}   &(チ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}    &(リ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\omega _{2}C} \\[ 5pt ] &(ヌ)& \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{2}CR}   &(ル)& -\tan ^{-1}\frac {1}{\omega _{1}CR}   &(ヲ)& \frac {RI_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{2}CR} \\[ 5pt ] &(ワ)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}   &(カ)& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\omega _{1}CR}   &(ヨ)& -\tan ^{-1}\omega _{1}CR
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

本問は典型的なガウスの定理を利用した問題ですが,同心球と勘違いするとすべて誤答となってしまう可能性があります。図と問題文をよく読んで間違えないように注意して下さい。

1.重ね合わせの理(重ねの理)
複数の電源で構成された回路は,電源毎に計算した電流を重ね合わせて求めることができます。この時,電圧源は短絡,電流源は開放します。問題に対する回路は図1のようになります。

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  重ね合わせの理の証明

【解答】

(1)解答:ホ
図1の左図より,電圧源から\( \ E_{\mathrm {m}} \ \)の電圧がかかった時の\( \ {\dot I}_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {e}} &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{R+\frac {1}{j\omega _{1}C}} \\[ 5pt ] &=& \frac {j\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+j\omega _{1}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ I_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {e}} &=& \left| \frac {\mathrm {j}\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {\omega _{1}CE_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:チ
図1の右図より,電流源から\( \ I_{\mathrm {m}} \ \)の電流が流れた時の\( \ {\dot I}_{\mathrm {i}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot I}_{\mathrm {i}} &=& \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{2}C}}{R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{2}C}}I_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{2}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ I_{\mathrm {i}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm {i}} &=& \left| \frac {I_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{2}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答:ワ
電圧源から\( \ E_{\mathrm {m}} \ \)の電圧がかかった時のキャパシタの電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {e}} &=& \frac {\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{1}C}}{R+\frac {1}{\mathrm {j}\omega _{1}C}}E_{\mathrm {m}} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}
\end{eqnarray}
\] となるので,その大きさ\( \ V_{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {e}} &=& \left| \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR}\right| \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答:ヨ
(3)より,\( \ {\dot V}_{\mathrm {e}} \ \)を変形すると,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {e}} &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\mathrm {j}\omega _{1}CR} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{1+\left( \omega _{1}CR\right) ^{2}}(1-\mathrm {j}\omega _{1}CR)
\end{eqnarray}
\] となるので,\( \ \phi _{\mathrm {e}} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\phi _{\mathrm {e}} &=& \tan ^{-1} \frac {-\omega _{1}CR}{1} \\[ 5pt ] &=&-\tan ^{-1} \omega _{1}CR
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ニ
図1右図より,電流源から\( \ I_{\mathrm {m}} \ \)の電流が流れた時のキャパシタに現れる電圧\( \ V_{\mathrm {i}} \ \)は抵抗に現れる電圧と等しいので,
\[
\begin{eqnarray}
V_{\mathrm {i}} &=& RI_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] &=& R\cdot \frac {I_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {RI_{\mathrm {m}}}{\sqrt {1+\left( \omega _{2}CR\right) ^{2}}}
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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