《理論》〈電磁気〉[H27:問5]変圧器に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

次の文章は,変圧器に関する記述である。文中の\(\fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選びなさい。

図に示すような単相変圧器がある。ここで,鉄心の比透磁率を\(\mu _{\mathrm {r}}\),線路長を\(l\),断面積を\(S\)とし,巻数が\(n_{1}\)の巻線\(1\)と巻数が\(n_{2}\)の巻線\(2\)が巻かれている。また,真空の透磁率を\(\mu _{0}\)とし,磁束の漏れは無視できるものとする。

巻線\(1\)に周波数\(f\)の交流電流\(i\)を流したとき,鉄心の磁気回路を考えることで,鉄心中の磁束\(\mathit {\Phi }\)は\(\mathit {\Phi } =\fbox {  (1)  }\)と表される。

鉄心中の磁束\(\mathit {\Phi }\)を用いると,巻線\(2\)に発生する起電力\(U\)は\(U=\fbox {  (2)  }\)と表される。

例えば,交流電流の周波数を\(50 \ \mathrm {Hz}\),実効値を\(1 \ \mathrm {A}\)とすると,交流電流\(i\)は三角関数を用いて\(i=\fbox {  (3)  }\sin \left( \fbox {  (4)  } \ t\right) \ \mathrm {[A]}\)と表すことができるため,\(\mathit {\Phi }=\fbox {  (1)  }\)と\(U=\fbox {  (2)  }\)の関係を用いて,巻線\(2\)の両端に発生する電圧を求めることができる。

例えば,\(n_{1}=100\),\(n_{2}=20\),\(\mu _{0} =4\pi \times 10^{-7} \ \mathrm {[H/m]}\),\(\mu _{\mathrm {r}}=1000\),\(S=3.0\times 10^{-3} \ \mathrm {m^{2}}\),\(l=0.5 \ \mathrm {m}\)とすると,巻線\(2\)の両端には実効値で\(\fbox {  (5)  } \ \mathrm {V}\)の電圧が発生することになる。

〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&(イ)& -n_{2}\frac {\mathrm {d}^{2}\mathit {\Phi}}{{\mathrm {d}t}^{2}}   &(ロ)& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{2\pi l}   &(ハ)& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l} \\[ 5pt ] &(ニ)& \sqrt {2}   &(ホ)& 4.73   &(ヘ)& 2 \\[ 5pt ] &(ト)& 3.46   &(チ)& -n_{2}{\mathit {\Phi}}^{2}    &(リ)& 100\pi \\[ 5pt ] &(ヌ)& 50   &(ル)& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{2\pi l^{2}}   &(ヲ)& 2.82 \\[ 5pt ] &(ワ)& -n_{2}\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi}}{\mathrm {d}t}   &(カ)& \sqrt {3}   &(ヨ)& 50\pi
\end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

変圧器に関する問題で,内容はそれほど複雑ではありませんが,高い計算能力が求められる問題となっています。

1.アンペールの法則
図1の示すような,電流\(I\)が流れているコイルの中心に発生する磁界の大きさ\(H\)は,
\[
NI=\int H\cdot \mathrm {d}l
\] となります。

2.磁束密度\(B\)と磁界の大きさ\(H\)の関係
透磁率が\(\mu \)の時,磁束密度\(B\)と磁界の大きさ\(H\)の関係は,
\[
B=\mu H
\] となります。

3.磁束\(\mathit {\Phi }\)と磁束密度\(B\)の関係
断面積が\(S\),磁束密度\(B\)が与えられているとき,磁束\(\mathit {\Phi }\)の大きさは,
\[
\mathit {\Phi }=\int B\cdot \mathrm {d}S
\] となります。

4.電磁誘導に関するファラデーの法則
図2に示すような巻線\(N\)のコイルに磁束\(\mathit {\Phi }\)が通過している時,発生する誘導起電力\(e\)は,
\[
e=-N\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi }}{\mathrm {d}t}
\] となります。

【解答】

(1)解答:ハ
ワンポイント解説「1.アンペールの法則」より,巻線\(1\)に周波数\(f\)の交流電流\(i\)を流したとき,鉄心の磁気回路中に発生する磁界の大きさ\(H\)は,
\[
\begin{eqnarray}
n_{1}i&=& Hl \\[ 5pt ] H&=& \frac {n_{1}i}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。よって,鉄心中の磁束密度\(B\)は,ワンポイント解説「2.磁束密度\(B\)と磁界の大きさ\(H\)の関係」より,
\[
\begin{eqnarray}
B&=& \mu H \\[ 5pt ] &=& \mu _{0} \mu _{\mathrm {r}} \frac {n_{1}i}{l} \\[ 5pt ] &=& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。ワンポイント解説「3.磁束\(\mathit {\Phi }\)と磁束密度\(B\)の関係」より,断面積が\(S\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi }&=& BS \\[ 5pt ] &=& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}}{l} S \\[ 5pt ] &=& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答:ワ
ワンポイント解説「4.電磁誘導に関するファラデーの法則」より,巻線\(2\)に発生する誘導起電力\(U\)は,
\[
U=-n_{2}\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi}}{\mathrm {d}t}
\] と求められる。

(3)解答:ニ
正弦波において,波高値は実効値の\(\sqrt {2}\)倍であるから,\(\sqrt {2} \ \mathrm {[A]}\)と求められる。

(4)解答:リ
交流電流は\(i=A\sin \omega t\)で表せ,\(\omega =2\pi f\)であるから,
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=& 2\pi f \\[ 5pt ] &=& 2\pi \times 50 \\[ 5pt ] &=& 100 \pi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答:ホ
\[
\begin{eqnarray}
\mathit {\Phi } &=& \frac {n_{1}i\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l} \\[ 5pt ] &=& \frac {n_{1}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l}\sqrt {2}\sin \left( 100 \pi t\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {\sqrt {2} n_{1}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l}\sin \left( 100 \pi t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] より,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi }}{\mathrm {d}t} &=& \frac {\sqrt {2} n_{1}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l} \frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}t}\left[ \sin \left( 100 \pi t\right) \right] \\[ 5pt ] &=& \frac {100\sqrt {2}\pi n_{1}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l}\cos \left( 100 \pi t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,誘導起電力\(U\)は,
\[
\begin{eqnarray}
U &=&-n_{2}\frac {\mathrm {d}\mathit {\Phi}}{\mathrm {d}t} \\[ 5pt ] &=&n_{2}\frac {100\sqrt {2}\pi n_{1}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l}\cos \left( 100 \pi t\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {100\sqrt {2}\pi n_{1}n_{2}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l}\cos \left( 100 \pi t\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので,誘導起電力\(U\)の実効値\(U_{\mathrm {d}}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
U_{\mathrm {d}} &=&\frac {100\pi n_{1}n_{2}\mu _{0} \mu _{\mathrm {r}}S}{l} \\[ 5pt ] &=&\frac {100\pi \times 100\times 20\times 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 3.0\times 10^{-3}}{0.5} \\[ 5pt ] &≒& 4.73 \ \mathrm {[V]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。



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