《理論》〈電気回路〉[H29:問15]ホイーストンブリッジに関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

図は未知のインピーダンス\(\dot Z \mathrm {\left[ \Omega \right] }\)を測定するための交流ブリッジである。電源の電圧を\(\dot E \mathrm {\left[ V \right] }\),角周波数を\(\omega \mathrm {\left[ rad/s \right] }\)とする。ただし,\(\mathrm {\omega }\),静電容量\(C_{1}\mathrm {\left[ F\right] }\),抵抗\(R_{1}\mathrm { \left[ \Omega \right] }\),抵抗\(R_{2} \mathrm {\left[ \Omega \right] }\),抵抗\(R_{3}\mathrm { \left[ \Omega \right] }\)は零でないとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 交流検出器\(D\)による検出電圧が零となる平衡条件を\(\dot Z \),\(R_{1}\),\(R_{2}\),\(R_{3}\),\(\omega \)及び\(C_{1}\)を用いて表すと,
\[
\left( \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \right)\dot Z = R_{2}R_{3}
\] となる。
上式の空白に入る式として適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
(1) R_{1}+\frac {1}{j\omega C_{1}}  (2) R_{1}-\frac {1}{j\omega C_{1}}  (3) \frac {R_{1}}{1+j\omega C_{1}R_{1}}  
\] \[
(4) \frac {R_{1}}{1-j\omega C_{1}R_{1}}  (5) \sqrt {\frac {R_{1}}{j\omega C_{1}}} 
\] (b) \(\dot Z =R+jX\)としたとき,この交流ブリッジで測定できる\(R\left[ \Omega \right] \)と\(X \left[ \Omega \right] \)の満たす条件として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
\[
(1) R≧0,X≦0  (2) R>0,X<0 (3) R=0,X>0  
\] \[
(4) R>0,X>0  (5) R=0,X≦0
\]

【ワンポイント解説】

ホイーストンブリッジの平衡条件に関する問題で毎年のように出題される非常に重要な問題となります。本問では以下の公式を使用します。

1.コンデンサ\(C\)のインピーダンス\(Z\)
角周波数\(\omega \)とすると,
\[
Z=\frac {1}{j\omega C}
\] となる。

2.交流ブリッジ回路の平衡条件
図1の回路において,
\[
Z_{1}Z_{4}=Z_{2}Z_{3}
\] となります。

【解答】

(a)解答:(3)
\(R_{1}\)と\(\displaystyle \frac {1}{j\omega C_{1}}\)の合成インピーダンス\(\dot Z_{1}\)は,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z_{1} &=& \frac {R_{1}\frac {1}{j\omega C_{1}}}{R_{1}+\frac {1}{j\omega C_{1}}} \\[ 5pt ] &=& \frac {R_{1}}{1+j\omega C_{1}R_{1}}
\end{eqnarray}
\] となるため,交流ブリッジの平衡条件は,
\[
\begin{eqnarray}
&&       \dot Z_{1}\dot Z&=&R_{2}R_{3} \\[ 5pt ] &⇔&\left( \frac {R_{1}}{1+j\omega C_{1}R_{1}}\right) \dot Z&=&R_{2}R_{3}
\end{eqnarray}
\] となる。

(b)解答:(4)
(a)の解答式を\(\dot Z\)について整理すると,
\[
\begin{eqnarray}
\dot Z&=&\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}+j\frac {\omega C_{1}R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}} \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{2}R_{3}}{R_{1}}+j\omega C_{1}R_{2}R_{3}
\end{eqnarray}
\] となる。与えられた値はすべて正なので,\(\dot Z\)の実部及び虚部とも正となる。