《機械》〈回転機〉[H23:問4]同期発電機の出力端子間電圧に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，同期発電機に関する記述である。

$\ \mathrm {Y} \ $結線の非突極形三相同期発電機があり，各相の同期リアクタンスが$\ 3 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，無負荷時の出力端子と中性点間の電圧が$\ 424.2 \ \mathrm {[V]} \ $である。この発電機に$\ 1 \ $相当たり$\ R+\mathrm {j}X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の三相平衡$\ \mathrm {Y} \ $結線の負荷を接続したところ各相に$\ 50 \ \mathrm {[A]} \ $の電流が流れた。接続した負荷は誘導性でそのリアクタンス分は$\ 3 \ \mathrm {[\Omega ]} \ $である。ただし，励磁の強さは一定で変化しないものとし，電機子巻線抵抗は無視するものとする。

このときの発電機の出力端子間電圧$\ \mathrm {[V]} \ $の値として，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

　(1)　$\ 300 \ $　　(2)　$\ 335 \ $　　(3)　$\ 475 \ $　　(4)　$\ 581 \ $　　(5)　$\ 735 \ $

【ワンポイント解説】

同期発電機における端子電圧の導出に関する問題です。
考え方としてはそれほど難しい内容はありませんが，三平方の定理を多く利用した問題なので，計算力がポイントとなりそうな問題です。

1.同期発電機の等価回路
同期発電機の一相分等価回路は誘導起電力（相電圧）$\ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ $，端子電圧（相電圧）$\ \dot E \ \mathrm {[V]} \ $，同期リアクタンス$\ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $，電機子巻線抵抗$\ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $とすると，図1のようになります。
通常，電機子巻線抵抗$\ r_{\mathrm {a}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は十分に小さいと考え，無視して考えることが一般的です。

【解答】

解答：(4)
無負荷時の等価回路を図2に示す。ただし，誘導起電力（相電圧）を$\ {\dot E}_{0} \ \mathrm {[V]} \ $，端子電圧（相電圧）を$\ \dot E \ \mathrm {[V]} \ $，同期リアクタンスを$\ x_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $とする。
図2より回路に電流が流れないので，誘導起電力$\ E_{0} \ $も$\ 424.2 \ \mathrm {[V]} \ $となる。

次に$\ R+\mathrm {j}X_{\mathrm {L}} \ \mathrm {[\Omega ]} \ $の三相平衡負荷を接続したときの等価回路を図3に示す。
図3より，全体のインピーダンス$\ \dot Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} \dot Z &=& \mathrm {j}x_{\mathrm {s}}+R+\mathrm {j}X_{\mathrm {L}} \\[ 5pt ] &=& \mathrm {j}3+R+\mathrm {j}3 \\[ 5pt ] &=& R+\mathrm {j}6 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，その大きさ$\ Z \ \mathrm {[\Omega ]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} Z &=&\sqrt {R^{2}+6^{2}} \\[ 5pt ] &=& \sqrt {R^{2}+36} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ である。また，誘導起電力（相電圧）$\ E_{0}=424.2 \ \mathrm {[V]} \ $，電機子電流$\ I=50 \ \mathrm {[A]} \ $より，
$$\begin{eqnarray} Z &=&\frac {E_{0}}{I} \\[ 5pt ] &=& 8.484 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，
$$\begin{eqnarray} \sqrt {R^{2}+36} &=&8.484 \\[ 5pt ] R^{2}+36&≒& 71.98 \\[ 5pt ] R^{2}&=& 35.98 \\[ 5pt ] R&≒& 5.998 \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。したがって，発電機端子電圧（相電圧）$\ E \ \mathrm {[V]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} E &=&\sqrt {R^{2}+X_{\mathrm {L}}^{2}}\times I \\[ 5pt ] &=&\sqrt {5.998^{2}+3^{2}}\times 50 \\[ 5pt ] &≒& 335.3 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，線間電圧$\ V \ \mathrm {[V]} \ $は相電圧$\ E \ \mathrm {[V]} \ $の$\ \sqrt {3} \ $倍なので，
$$\begin{eqnarray} V &=&\sqrt {3}E \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 335.3 \\[ 5pt ] &≒& 581 \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。