Contents
【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
図のように，極板間の厚さ\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)，表面積\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)の平行板コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)と\( \ \mathrm {B} \ \)がある。コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)の内部は，比誘電率と厚さが異なる\( \ \mathrm {3} \ \)種類の誘電体で構成され，極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサ\( \ \mathrm {B} \ \)の内部は，比誘電率と水平方向の断面積が異なる\( \ \mathrm {3} \ \)種類の誘電体で構成されている。コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ\( \ E_{\mathrm {A1}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {A2}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {A3}} \ \)，コンデンサ\( \ \mathrm {B} \ \)の各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ\( \ E_{\mathrm {B1}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {B2}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {B3}} \ \)とし，端効果，初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F／m]} \ \)とする。両コンデンサの上側の極板に電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)の直流電源を接続し，下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a) コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)における各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ E_{\mathrm {A1}} \gt E_{\mathrm {A2}} \gt E_{\mathrm {A3}}，\displaystyle \frac {3V}{5d} \ \)
(2) \( \ E_{\mathrm {A1}} \lt E_{\mathrm {A2}} \lt E_{\mathrm {A3}}，\displaystyle \frac {3V}{5d} \ \)
(3) \( \ E_{\mathrm {A1}} = E_{\mathrm {A2}} = E_{\mathrm {A3}}，\displaystyle \frac {V}{d} \ \)
(4) \( \ E_{\mathrm {A1}} \gt E_{\mathrm {A2}} \gt E_{\mathrm {A3}}，\displaystyle \frac {9V}{5d} \ \)
(5) \( \ E_{\mathrm {A1}} \lt E_{\mathrm {A2}} \lt E_{\mathrm {A3}}，\displaystyle \frac {9V}{5d} \ \)
(b) コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)全体の蓄積エネルギーは，コンデンサ\( \ \mathrm {B} \ \)全体の蓄積エネルギーの何倍か，最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
(1) \( \ 0.72 \ \) (2) \( \ 0.83 \ \) (3) \( \ 1.00 \ \) (4) \( \ 1.20 \ \) (5) \( \ 1.38 \ \)
【ワンポイント解説】
平行平板コンデンサに誘電体を挿入した内容の出題です。
コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)のように誘電体を水平方向に挿入した場合には電束密度が等しくなり，コンデンサ\( \ \mathrm {B} \ \)のように誘電体を垂直方向に挿入した場合には電界が等しくなることは理解しておくと良いと思います。
令和3年問17に全く同じ問題が出題されています。
1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm {[C]} \ \)と静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)及び電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
Q &=&CV \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
2.平行平板コンデンサの静電容量\( \ C \ \)
平板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F / m]} \ \)，平板の面積を\( \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ \)，平板間の間隔を\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
C &=&\frac {\varepsilon S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。
3.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は，
並列接続時：\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
直列接続時：\( \ \displaystyle C=\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}}=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。
4.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係
極板間の距離\( \ d \ \mathrm {[m]} \ \)の平行平板コンデンサに電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)をかけると，極板間の電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
5.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係
極板間の誘電率を\( \ \varepsilon \ \mathrm {[F / m]} \ \)とすると，電束密度\( \ D \ \mathrm {[C / m^{2}]} \ \)と電界\( \ E \ \mathrm {[V / m]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
D&=&\varepsilon E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
6.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)
平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \mathrm {[J]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から，
\[
\begin{eqnarray}
W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ]
&=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(a)解答：(4)
コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)の各誘電体における電束密度は等しいのでそれを\( \ D \ \mathrm {[C／m^{2}]} \ \)とすると，それぞれの電界\( \ E_{\mathrm {A1}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {A2}} \ \)，\( \ E_{\mathrm {A3}} \ \)の強さは，ワンポイント解説「5.平行平板コンデンサの電束密度\( \ D \ \)と電界\( \ E \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {A1}} &=&\frac {D}{2\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
E_{\mathrm {A2}} &=&\frac {D}{3\varepsilon _{0}}=\frac {2}{3}E_{\mathrm {A1}} \\[ 5pt ]
E_{\mathrm {A3}} &=&\frac {D}{6\varepsilon _{0}}=\frac {1}{3}E_{\mathrm {A1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ E_{\mathrm {A1}} \gt E_{\mathrm {A2}} \gt E_{\mathrm {A3}} \ \)と求められる。また，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの電界\( \ E \ \)と電圧\( \ V \ \)の関係」より，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{6}+E_{\mathrm {A2}}\cdot \frac {d}{3}+E_{\mathrm {A3}}\cdot \frac {d}{2} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{6}+\frac {2}{3}E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{3}+\frac {1}{3}E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{2} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{6}+E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {2d}{9}+E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {d}{6} \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {A1}}\left( \frac {d}{6}+ \frac {2d}{9}+ \frac {d}{6}\right) \\[ 5pt ]
&=&E_{\mathrm {A1}}\cdot \frac {5d}{9} \\[ 5pt ]
E_{\mathrm {A1}}&=&\frac {9V}{5d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(b)解答：(2)
コンデンサ\( \ \mathrm {A} \ \)の各誘電体の静電容量をそれぞれ\( \ C_{\mathrm {A1}} \ \mathrm {[F]} \ \)，\( \ C_{\mathrm {A2}} \ \mathrm {[F]} \ \)，\( \ C_{\mathrm {A3}} \ \mathrm {[F]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {A1}} &=&\frac {2\varepsilon _{0}S}{\displaystyle \frac {d}{6}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {12\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {A2}} &=&\frac {3\varepsilon _{0}S}{\displaystyle \frac {d}{3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {9\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {A3}} &=&\frac {6\varepsilon _{0}S}{\displaystyle \frac {d}{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {12\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，それぞれが直列接続されていると考えられるので，合成静電容量\( \ C_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[F]} \ \)は，ワンポイント解説「3.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {A}} &=&\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{\mathrm {A1}}}+\frac {1}{C_{\mathrm {A2}}}+\frac {1}{C_{\mathrm {A3}}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{\displaystyle \frac {d}{12\varepsilon _{0}S}+\frac {d}{9\varepsilon _{0}S}+\frac {d}{12\varepsilon _{0}S}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{\displaystyle \frac {3d+4d+3d}{36\varepsilon _{0}S}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {36\varepsilon _{0}S}{10d} \\[ 5pt ]
&=&\frac {18\varepsilon _{0}S}{5d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。同様に，コンデンサ\( \ \mathrm {B} \ \)の各誘電体の静電容量をそれぞれ\( \ C_{\mathrm {B1}} \ \mathrm {[F]} \ \)，\( \ C_{\mathrm {B2}} \ \mathrm {[F]} \ \)，\( \ C_{\mathrm {B3}} \ \mathrm {[F]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {B1}} &=&\frac {2\varepsilon _{0}\displaystyle \frac {S}{6}}{d} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{3d} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {B2}} &=&\frac {3\varepsilon _{0}\displaystyle \frac {S}{3}}{d} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
C_{\mathrm {B3}} &=&\frac {6\varepsilon _{0}\displaystyle \frac {S}{2}}{d} \\[ 5pt ]
&=&\frac {3\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，それぞれが並列接続されていると考えられるので，合成静電容量\( \ C_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[F]} \ \)は，ワンポイント解説「3.コンデンサの合成静電容量」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
C_{\mathrm {B}} &=&C_{\mathrm {B1}}+C_{\mathrm {B2}}+C_{\mathrm {B3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\varepsilon _{0}S}{3d}+\frac {\varepsilon _{0}S}{d}+\frac {3\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ]
&=&\frac {13\varepsilon _{0}S}{3d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。以上から，それぞれのコンデンサに蓄えられるエネルギーを\( \ W_{\mathrm {A}} \ \mathrm {[J]} \ \)，\( \ W_{\mathrm {B}} \ \mathrm {[J]} \ \)とすると，ワンポイント解説「6.平行平板コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {W_{\mathrm {A}}}{W_{\mathrm {B}}} &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{2}C_{\mathrm {A}}V^{2}}{\displaystyle \frac {1}{2}C_{\mathrm {B}}V^{2}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {C_{\mathrm {A}}}{C_{\mathrm {B}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {18\varepsilon _{0}S}{5d}}{\displaystyle \frac {13\varepsilon _{0}S}{3d}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {18}{5}}{\displaystyle \frac {13}{3}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {54}{65} \\[ 5pt ]
&≒&0.831 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん
詳しくは