《理論》〈電気回路〉[R05下:問17]直並列されたコンデンサの合成静電容量に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆(普通)

図1の端子\( \ \mathrm {a – d} \ \)間の合成静電容量について,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 端子\( \ \mathrm {b – c – d} \ \)間は図2のように 結線で接続されている。これを図3のように\( \ \mathrm {Y} \ \)結線に変換したとき,電気的に等価となるコンデンサ\( \ C \ \)の値\( \ \mathrm {[F]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 1.0 \ \)  (2) \( \ 2.0 \ \)  (3) \( \ 4.5 \ \)  (4)  \( \ 6.0 \ \)  (5) \( \ 9.0 \ \)

(b) 図3を用いて,図1の端子\( \ \mathrm {b – c – d} \ \)間を\( \ \mathrm {Y} \ \)結線回路に変換したとき,図1の端子\( \ \mathrm {a – d} \ \)間の合成静電容量\( \ C_{0} \ \)の値\( \ \mathrm {[F]} \ \)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \( \ 3.0 \ \)  (2) \( \ 4.5 \ \)  (3) \( \ 4.8 \ \)  (4)  \( \ 6.0 \ \)  (5) \( \ 9.0 \ \)

【ワンポイント解説】

直並列接続したコンデンサの合成静電容量を求める問題です。
(a)は確実に得点しておきたい設問,(b)は計算間違いのないように注意しながら解いていく設問です。\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換,静電容量と抵抗の考え方の違い等重要な内容を多く含みますので,ぜひ理解するようにして下さい。
本問は平成27年問16からの再出題となります。

1.抵抗,コイル,コンデンサの電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)と電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)の関係
抵抗\( \ R \ \mathrm {[\Omega ]} \ \),コイル\( \ L \ \mathrm {[H]} \ \),コンデンサ\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)があり,電源の角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad / s]} \ \)及び周波数\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)が与えられているとき,それぞれのインピーダンスは,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {R}}&=&R&& \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L&=&\mathrm {j}2\pi f L \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {C}}&=&\frac {1}{\mathrm {j}\omega C}&=&\frac {1}{\mathrm {j}2\pi f C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められ,それぞれの電圧と電流の関係は,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {R}}&=&R\dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {L}}&=&\mathrm {j}\omega L \dot I \\[ 5pt ] {\dot V}_{\mathrm {C}}&=&\frac {\dot I }{\mathrm {j}\omega C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。この関係をベクトル図に表すと,図4~図6となります。

2.コンデンサの合成静電容量
静電容量\( \ C_{1} \ \mathrm {[F]} \ \)と\( \ C_{2} \ \mathrm {[F]} \ \)の合成静電容量\( \ C \ \mathrm {[F]} \ \)は,
  並列接続時:\( \ C=C_{1}+C_{2} \ \)
  直列接続時:\( \ \displaystyle C=\frac {1}{\displaystyle \frac {1}{C_{1}}+\frac {1}{C_{2}}}=\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \ \)
となります。

3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図7において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図7において,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては,
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&{\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【関連する「電気の神髄」記事】

  Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

【解答】

(a)解答:(5)
ワンポイント解説「3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換」の通り,三相平衡回路での\( \ \mathrm {Y} \ \)接続時のインピーダンスは\( \ \Delta \ \)接続時の\( \ \displaystyle \frac {1}{3} \ \)倍となるから,
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{\mathrm {Y}}}&=&\frac {1}{3}\cdot \frac {1}{\mathrm {j}\omega C_{\mathrm {\Delta }}} \\[ 5pt ] \frac {1}{C_{\mathrm {Y}}}&=&\frac {1}{3C_{\mathrm {\Delta }}} \\[ 5pt ] C_{\mathrm {Y}}&=&3C_{\mathrm {\Delta }} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] の関係があるので,図2における\( \ C \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は,
\[
\begin{eqnarray}
C&=&3\times 3 \\[ 5pt ] &=&9 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(3)
(a)の解答を元に図1の回路を整理すると図8のようになる。
\( \ C_{1}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と\( \ C_{3}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)の合成静電容量\( \ C_{13} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は,ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
C_{13}&=&\frac {C_{1}C_{3}}{C_{1}+C_{3}} \\[ 5pt ] &=&\frac {9\times 9}{9+9} \\[ 5pt ] &=&4.5 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり,\( \ C_{2}=18 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)と\( \ C_{4}=9 \ \mathrm {[\mu F]} \ \)の合成静電容量\( \ C_{24} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は,ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
C_{24}&=&\frac {C_{2}C_{4}}{C_{2}+C_{4}} \\[ 5pt ] &=&\frac {18\times 9}{18+9} \\[ 5pt ] &=&6 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] となる。よって,\( \ C_{1} \ ~C_{4} \ \)までの合成静電容量\( \ C_{1234} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は,ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
C_{1234}&=&C_{13}+C_{24} \\[ 5pt ] &=&4.5+6 \\[ 5pt ] &=&10.5 \ \mathrm {[\mu F]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。したがって,端子\( \ \mathrm {a-d} \ \)間の合成静電容量\( \ C_{0} \ \mathrm {[\mu F]} \ \)は,ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り,
\[
\begin{eqnarray}
C_{0}&=&\frac {C_{1234}C_{5}}{C_{1234}+C_{5}} \\[ 5pt ] &=&\frac {10.5\times 9}{10.5+9} \\[ 5pt ] &≒&4.84 → 4.8 \ \mathrm {[\mu F]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。