《理論》〈電磁気〉[H20:問2]平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーに関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，平行板コンデンサに蓄えられるエネルギーについて述べたものである。

極板聞に誘電率$\ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ $の誘電体をはさんだ平行板コンデンサがある。このコンデンサに電圧を加えたとき，蓄えられるエネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $を誘電率$\ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ $，極板間の誘電体の体積$\ V \ \mathrm {[m^{3}]} \ $，極板間の電界の大きさ$\ E \ \mathrm {[V/m]} \ $で表現すると，$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は，誘電率$\ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ $の$\ \fbox {　 （ア） 　} \ $に比例し，体積$\ V \ \mathrm {[m^{3}]} \ $に$\ \fbox {　 （イ） 　} \ $し，電界の大きさ$\ E \ \mathrm {[V/m]} \ $の$\ \fbox {　 （ウ） 　} \ $に比例する。

ただし，極板の端効果は無視する。

上記の記述中の空白箇所(ア)，(イ)及び(ウ)に当てはまる語句として，正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。

$$\begin{array}{cccc} & （ア） & （イ） & （ウ） \\ \hline (1) & 　1　乗　 & 　反比例　 & 　1　乗　 \\ \hline (2) & 　1　乗　 & 　比　例　 & 　1　乗　 \\ \hline (3) & 　2　乗　 & 　反比例　 & 　1　乗　 \\ \hline (4) & 　1　乗　 & 　比　例　 & 　2　乗　 \\ \hline (5) & 　2　乗　 & 　比　例　 & 　2　乗　 \\ \hline \end{array}$$

【ワンポイント解説】

平行平板コンデンサに蓄えられるエネルギーの特性を問う問題です。
平行平板コンデンサの基本公式を問題に与えられている条件に変形することが肝となりますが，体積$\ V \ \mathrm {[m^{3}]} \ $の扱いに困った受験生が多かったかもしれません。
エネルギー密度の公式を知っていると幾分容易に解けるかと思います。

1.電荷$\ Q \ $と静電容量$\ C \ $及び電圧$\ V \ $の関係
平行平板コンデンサにおいて，蓄えられる電荷$\ Q \ \mathrm {[C]} \ $と静電容量$\ C \ \mathrm {[F]} \ $及び電圧$\ V \ \mathrm {[V]} \ $には，

$$\begin{eqnarray} Q &=&CV \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ の関係があります。

2.平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ $
平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ \mathrm {[F]} \ $は，真空の誘電率を$\ \varepsilon _{0} \ \mathrm {[F / m]} \ $，極板の面積を$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，極板間の距離を$\ d \ \mathrm {[m]} \ $とすると，

$$\begin{eqnarray} C &=&\frac {\varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。平行平板コンデンサの間に比誘電率$\ \varepsilon _{\mathrm {r}} \ $の誘電体を挿入すると，
$$\begin{eqnarray} C &=&\frac {\varepsilon _{\mathrm {r}} \varepsilon _{0}S}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

3.平行平板コンデンサの電界$\ E \ $と電圧$\ V \ $の関係
極板間の距離$\ d \ \mathrm {[m]} \ $の平行平板コンデンサに電圧$\ V \ \mathrm {[V]} \ $をかけると，極板間の電界$\ E \ \mathrm {[V / m]} \ $は，

$$\begin{eqnarray} E&=&\frac {V}{d} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

4.平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ $
平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は，

$$\begin{eqnarray} W &=&\frac {1}{2}CV^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ であり，$\ Q=CV \ $の関係から，
$$\begin{eqnarray} W&=&\frac {1}{2}QV \\[ 5pt ] &=&\frac {Q^{2}}{2C} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。

5.平行平板コンデンサのエネルギー密度$\ w \ $
平行平板コンデンサ内のエネルギー密度$\ w \ \mathrm {[J/m^{3}]} \ $は，

$$\begin{eqnarray} w &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ で求められます。

【解答】

解答：(4)
(ア)
コンデンサに蓄えられるエネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は，平行平板コンデンサに加わる電圧を$\ V_{1} \ \mathrm {[V]} \ $とすると，ワンポイント解説「4.平行平板コンデンサの静電エネルギー$\ W \ $」の通り，

$$\begin{eqnarray} W &=&\frac {1}{2}CV_{1}^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，平行平板コンデンサの極板の面積を$\ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $，極板間の距離を$\ d \ \mathrm {[m]} \ $（ただし，$\ V=Sd \ $）とすると，ワンポイント解説「2.平行平板コンデンサの静電容量$\ C \ $」及び「3.平行平板コンデンサの電界$\ E \ $と電圧$\ V \ $の関係」の通り，
$$\begin{eqnarray} W &=&\frac {1}{2}\cdot \frac {\varepsilon S}{d}\left( Ed\right)^{2} \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2}Sd \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となるので，誘電率$\ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ $の$\ 1 \ $乗に比例することになります。

［別解］
平行平板コンデンサのエネルギー密度$\ w \ \mathrm {[J/m^{3}]} \ $は，ワンポイント解説「5.平行平板コンデンサのエネルギー密度$\ w \ $」の通り，

$$\begin{eqnarray} w &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ なので，コンデンサに蓄えられるエネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は，
$$\begin{eqnarray} W &=&\frac {1}{2}\varepsilon E^{2}V \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，誘電率$\ \varepsilon \ \mathrm {[F/m]} \ $の$\ 1 \ $乗に比例することになります。

(イ)
(ア)解答式より，コンデンサに蓄えられるエネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は体積$\ V \ \mathrm {[m^{3}]} \ $に比例することになります。

(ウ)
(ア)解答式より，コンデンサに蓄えられるエネルギー$\ W \ \mathrm {[J]} \ $は電界の大きさ$\ E \ \mathrm {[V/m]} \ $の$\ 2 \ $乗に比例することになります。