《機械》〈変圧器〉[H20:問16]単相変圧器の鉄損及び銅損に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

定格容量$\ 50 \ \mathrm {[kV\cdot A]} \ $の単相変圧器がある。この変圧器を定格電圧，力率$\ 100 \ \mathrm {[％]} \ $，全負荷の$\ \displaystyle \frac {3}{4} \ $の負荷で運転したとき，鉄損と銅損が等しくなり，そのときの効率は$\ 98.2 \ \mathrm {[％]} \ $であった。この変圧器について，次の(a)及び(b)に答えよ。

ただし，鉄損と銅損以外の損失は無視できるものとする。

(a)　この変圧器の鉄損$\ \mathrm {[W]} \ $の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　$\ 344 \ $　　(2)　$\ 382 \ $　　(3)　$\ 425 \ $　　(4)　$\ 472 \ $　　(5)　$\ 536 \ $

(b)　この変圧器を全負荷，力率$\ 100 \ \mathrm {[％]} \ $で運転したときの銅損$\ \mathrm {[W]} \ $の値として，最も近いのは次のうちどれか。

　(1)　$\ 325 \ $　　(2)　$\ 453 \ $　　(3)　$\ 579 \ $　　(4)　$\ 611 \ $　　(5)　$\ 712 \ $

【ワンポイント解説】

単相変圧器の最大効率から鉄損及び銅損を求める問題です。
類題が何度も出題されている，計算もそれほど難解ではない，という理由から多くの受験生が正答する問題となります。
試験本番までには，必ずマスターしておくようにして下さい。

1.変圧器の効率$\ \eta \ $と最大効率$\ \eta _{\mathrm {m}} \ $
変圧器の損失は鉄損$\ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ $と銅損$\ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ $があり，$\ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ $は負荷によらず一定であり，$\ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ $は負荷(電流)の$\ 2 \ $乗に比例します。従って，定格出力$\ P_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[W]} \ $で利用率$\ \alpha \ $の時の変圧器の効率$\ \eta \ $は，
$$\begin{eqnarray} \eta &=&\frac {出力}{入力} \\[ 5pt ] &=&\frac {出力}{出力+損失} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。
次に，最大効率$\ \eta _{\mathrm {m}} \ $を求めます。上式の分母分子を$\ \alpha \ $で割ると
$$\begin{eqnarray} \eta &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\displaystyle P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となり，効率が最大となるためには，上式の分母が最小となれば良いです。よって，$\ \displaystyle A=P_{\mathrm {n}}+\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha }+\alpha p_{\mathrm {c}} \ $と置くと，
$$\begin{eqnarray} \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }&=&-\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2} }+p_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ となります。よって$\ \displaystyle \frac {\mathrm {d}A}{\mathrm {d}\alpha }=0 \ $となるとき，$\ p_{\mathrm {i}}=\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}} \ $であり，鉄損と銅損が等しい時効率は最大となります。

　※　本問題を解く上では，鉄損と銅損が等しい時，効率が最大となることを覚えていれば問題ありません。

【解答】

(a)解答：(1)
鉄損$\ p_{\mathrm {i}} \ \mathrm {[W]} \ $及び全負荷時の銅損$\ p_{\mathrm {c}} \ \mathrm {[W]} \ $とすると，負荷率$\ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ $の負荷で運転したとき，鉄損と銅損が等しくなり，最大効率が$\ \eta _{\mathrm {m}}=98.2 \ \mathrm {[％]} \ $となったとなっているので，ワンポイント解説「1.変圧器の効率$\ \eta \ $と最大効率$\ \eta _{\mathrm {m}} \ $」の通り，
$$\begin{eqnarray} \eta _{\mathrm {m}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+\alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+p_{\mathrm {i}}+p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}} \\[ 5pt ] \alpha P_{\mathrm {n}}+2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}} \\[ 5pt ] 2p_{\mathrm {i}}&=&\frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}} \\[ 5pt ] p_{\mathrm {i}}&=&\frac {1}{2}\left( \frac {\alpha P_{\mathrm {n}}}{\eta _{\mathrm {m}}}-\alpha P_{\mathrm {n}}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\alpha P_{\mathrm {n}}\left( \frac {1}{\eta _{\mathrm {m}}}-1\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{2}\times \frac {3}{4} \times 50\times 10^{3}\times \left( \frac {1}{0.982}-1\right) \\[ 5pt ] &≒&343.7　→　344 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。

(b)解答：(4)
負荷率$\ \alpha =\displaystyle \frac {3}{4} \ $のときの銅損が(a)で求めた鉄損と等しいことから，ワンポイント解説「1.変圧器の効率$\ \eta \ $と最大効率$\ \eta _{\mathrm {m}} \ $」の通り，
$$\begin{eqnarray} \alpha ^{2}p_{\mathrm {c}}&=&p_{\mathrm {i}} \\[ 5pt ] p_{\mathrm {c}}&=&\frac {p_{\mathrm {i}}}{\alpha ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&611 \ \mathrm {[W]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}$$ と求められる。