《機械》〈回転機〉[H28:問15]同期発電機の電圧計算に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★★★☆(やや難しい)

定格出力\(3300\mathrm {kV\cdot A}\),定格電圧\(6600\mathrm {V}\),定格力率\(0.9\)(遅れ)の非突極形三相同期発電機があり,星形接続1相当たりの同期リアクタンスは\(12.0\mathrm {\Omega }\)である。電機子の巻線抵抗及び磁気回路の飽和は無視できるものとして,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a) 定格運転時における1相当たりの内部誘導起電力の値\(\mathrm {[ V ]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 3460  (2) 3810  (3) 6170  (4) 7090  (5) 8690

(b) 上記の発電機の励磁を定格状態に保ったまま運転し,星形結線1相当たりのインピーダンスが\(\mathrm {13+j5\Omega }\)の平衡三相誘導性負荷を接続した。このときの発電機端子電圧の値\(\mathrm {[ V ]}\)として,最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) 3810  (2) 4010  (3) 5990  (4) 6600  (5) 6950

【ワンポイント解説】

発電機や電動機の問題はまず,等価回路を描くことが重要です。本問から,図1の等価回路及び図2のベクトル図を描けるようにしておきましょう。

1.同期発電機の等価回路及びベクトル図(1相分)


\[
\begin{eqnarray}
&&\dot E_{0}&:&誘導起電力 &\dot E&&:&端子電圧(相電圧) \\[ 5pt ] &&\dot I&:&電機子電流 &r_{\mathrm {a}}& &:&電機子巻線抵抗 \\[ 5pt ] &&x_{\mathrm {s}}&:&同期リアクタンス &\delta &&:&負荷角 \\[ 5pt ] &&\theta &:&力率角
\end{eqnarray}
\]

【解答】

(a)解答:(3)
図2より,内部起電力\({\dot E}_{0}\)の大きさは,
\[
E_{0} =\sqrt {\left( E+ x_{\mathrm {s}}I\sin \theta \right) ^{2} +\left( x_{\mathrm {s}}I\cos \theta \right) ^{2}}
\] で与えられる。定格相電圧の大きさ\(E\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\frac {6600}{\sqrt {3}} \\[ 5pt ] &≒&3811 \mathrm {[ V ]}
\end{eqnarray}
\] と求められ,定格時の電機子電流\(I\)は,
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {P_{\mathrm {n}}}{\sqrt {3} V_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ] &=&\frac {3300\times 10^{3}}{\sqrt {3}\times 6600} \\[ 5pt ] &≒&288.7 \mathrm {[ A ]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。また,\(\sin \theta \)は,
\[
\begin{eqnarray}
\sin \theta &=&\sqrt {1-\cos ^{2}\theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.9^{2} } \\[ 5pt ] &≒&0.4359
\end{eqnarray}
\] で求められるので,各値を\(E_{0}\)の式に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
E_{0} &=&\sqrt {\left( E+ x_{\mathrm {s}}I\sin \theta \right) ^{2} +\left( x_{\mathrm {s}}I\cos \theta \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &=&\sqrt {\left( 3811+ 12.0\times 288.7 \times 0.4359 \right) ^{2} +\left( 12.0\times 288.7 \times 0.9 \right) ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&\sqrt {5321 ^{2} +3118 ^{2}} \\[ 5pt ] &≒&6169 → 6170 \mathrm {[ V ]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。

(b)解答:(5)
題意より,\(\dot Z =13+j5 \Omega \)であるから,図1よりの分圧の関係から,発電機端子の相電圧\(E\)は,
\[
\begin{eqnarray}
E &=&\frac {\dot Z}{\dot Z+\dot x_{\mathrm {s}}}E_{0} \\[ 5pt ] &=&\frac {13+j5}{13+j17}\times 6169 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {13^{2}+5^{2}}}{\sqrt {13^{2}+17^{2}}}\times 6169 \\[ 5pt ] &=&\frac {\sqrt {194}}{\sqrt {458}}\times 6169 \\[ 5pt ] &≒&4015 \mathrm {[ V ]}
\end{eqnarray}
\] よって,端子電圧\(V\)は,
\[
\begin{eqnarray}
V &=&\sqrt {3}E \\[ 5pt ] &=&\sqrt {3}\times 4015 \\[ 5pt ] &≒&6950 \mathrm {[ V ]}
\end{eqnarray}
\] と求められる。