平成29年理論(問16)について，分数の計算方法について教えて下さい。

【質問】

2017年理論(問16)(b)について追加で質問させて下さい。以下の部分

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よって，一相分等価回路は，図3のように書くことができ，回路の合成アドミタンス\(Y\)は，
\[
Y=\frac {1}{R+j\omega L}+j3\omega C=\frac {R-j\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+j3\omega C
\] となる。ここで，力率が1となるためには，上式の虚部が零とならなければならないので，
\[
\frac {-\omega L}{R^{2}+\left( \omega L\right) ^{2}}+3\omega C=0
\] となり，これを\(C\)について整理すると，
\[
C=\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) }
\] と求められる。

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の計算が分かりません。説明可能でしたら、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

【回答】

ご質問ありがとうございました。
それでは詳細に説明させて頂きます。通分の仕方にコツがあり，電験では非常によく出てくる計算なので，確実に理解するようにして下さい。
\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\frac {1}{R+j\omega L}+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{R+j\omega L}\times \frac {R-j\omega L}{R-j\omega L}+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R-j\omega L}{\left( R+j\omega L\right) \left( R-j\omega L\right) }+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R-j\omega L}{R^{2}-\left( j\omega L\right) ^{2}}+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R-j\omega L}{R^{2}-\left( -\omega ^{2}L^{2}\right) }+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R-j\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+j3\omega C \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。さらに上式を実部と虚部に分けて整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
Y&=&\frac {R-j\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}-\frac {j\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+j3\omega C \\[ 5pt ] &=&\frac {R}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+j\left( -\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+3\omega C\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。ここで，力率が\(1\)ということは上式の虚部が零となることなので，
\[
\begin{eqnarray}
-\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}}+3\omega C&=&0 \\[ 5pt ] 3\omega C&=&\frac {\omega L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ] 3C&=&\frac {L}{R^{2}+\omega ^{2}L^{2}} \\[ 5pt ] C&=&\frac {L}{3\left( R^{2}+\omega ^{2}L^{2}\right) } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。