《機械》〈回転機〉[R2:問4]回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する空欄穴埋問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）

次の文章は，回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する記述である。

回転磁束を担う回転子磁極の周速を\( \ v \ \mathrm {[m／s]} \ \)，磁束密度の瞬時値を\( \ b \ \mathrm {[T]} \ \)，磁束と直交する導体の長さを\( \ l \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，\( \ 1 \ \)本の導体に生じる誘導起電力\( \ e \ \mathrm {[V]} \ \)は次式で表される。
\[
\begin{eqnarray}
e &=& vbl \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 極数を\( \ p \ \)，固定子内側の直径を\( \ D \ \mathrm {[m]} \ \)とすると，極ピッチ\( \ \tau \ \mathrm {[m]} \ \)は\( \ \displaystyle \tau =\frac {\pi D}{p} \ \)であるから，\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)の起電力を生じる場合の周速\( \ v \ \)は\( \ v=2\tau f \ \)である。したがって，角周波数\( \ \omega \ \mathrm {[rad／s]} \ \)を\( \ \omega =2\pi f \ \)として，上述の磁束密度瞬時値\( \ b \ \mathrm {[T]} \ \)を\( \ b\left( t \right) =B_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)と表した場合，導体\( \ 1 \ \)本あたりの誘導起電力の瞬時値\( \ e\left( t \right) \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
e\left( t \right) &=& E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \\[ 5pt ] E_{\mathrm {m}} &=& \ \fbox {　 （ア） 　} \ B_{\mathrm {m}}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

また，回転磁束の空間分布が正弦波でその最大値が\( \ B_{\mathrm {m}} \ \)のとき，\( \ 1 \ \)極の磁束密度の\( \ \fbox {　 （イ） 　} \ \)\( \ B \ \mathrm {[T]} \ \)は，\( \ \displaystyle B=\frac {2}{\pi }B_{\mathrm {m}} \ \)であるから，\( \ 1 \ \)極の磁束\( \ \varPhi \ \mathrm {[Wb]} \ \)は，\( \ \displaystyle \varPhi =\frac {2}{\pi }B_{\mathrm {m}}\tau l \ \)である。したがって，\( \ 1 \ \)本の導体に生じる起電力の実効値は次のように表すことができる。
\[
\begin{eqnarray}
\frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}} &=&\frac {\pi }{\sqrt {2}}f\varPhi =2.22f\varPhi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] よって，三相同期発電機の\( \ 1 \ \)相あたりの直列に接続された電機子巻線の巻数を\( \ N \ \)とすると，回転磁束の空間分布が正弦波の場合，\( \ 1 \ \)相あたりの誘導起電力（実効値）\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=& \ \fbox {　 （ウ） 　} \ f\varPhi N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

さらに，電機子巻線には一般に短節巻と分布巻が採用されるので，これらを考慮した場合，\( \ 1 \ \)相あたりの誘導起電力\( \ E \ \)は次のように表される。
\[
\begin{eqnarray}
E &=& \ \fbox {　 （ウ） 　} \ k_{\mathrm {w}}f\varPhi N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ここで\( \ k_{\mathrm {w}} \ \)を\( \ \fbox {　 （エ） 　} \ \)という。

上記の記述中の空白箇所(ア)～(エ)に当てはまる組合せとして，正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。

\[
\begin{array}{ccccc}
& （ア） & （イ） & （ウ） & （エ） \\
\hline
(1) & 　2\tau f　 & 　平均値　 & 　2.22　 & 　巻線係数　 \\
\hline
(2) & 　2\pi f　 & 　最大値　 & 　4.44　 & 　分布係数　 \\
\hline
(3) & 　2\tau f　 & 　平均値　 & 　4.44　 & 　巻線係数　 \\
\hline
(4) & 　2\pi f　 & 　最大値　 & 　2.22　 & 　短節係数　 \\
\hline
(5) & 　2\tau f　 & 　実効値　 & 　2.22　 & 　巻線係数　 \\
\hline
\end{array}
\]

【ワンポイント解説】

問題文が非常に長く内容が難しく記載してあるため，一見難易度が高そうな問題に見えますが，中身は基本的な定義，公式及び名称を問う問題となっています。
電験\( \ 3 \ \)種対策として，文中のすべての数式を理解している必要はありません。下記ポイントを理解して，正答が導き出せるようにしましょう。

1.正弦波の平均値及び実効値(定義)
正弦波の平均値及び実効値は以下のように求められますが，いずれも積分計算を伴うので３種受験時には結果を覚えていれば問題ありません。
①平均値
瞬時値が\( \ e=E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)で表される電圧の平均値\( \ E_{\mathrm {av}} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {av}} &=& \frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0} E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \mathrm {d}\left( \omega t\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi}\int ^{\pi}_{0} \sin \omega t \mathrm {d}\left( \omega t\right) \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi}\left[ -\cos \omega t \right] ^{\pi}_{0} \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\pi}\left[ -\left( -1\right) +1 \right] \\[ 5pt ] &=& \frac {2E_{\mathrm {m}}}{\pi}
\end{eqnarray}
\] と求められます。
②実効値
瞬時値が\( \ e=E_{\mathrm {m}}\sin \omega t \ \)で表される電圧の実効値\( \ E \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=& \sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( E_{\mathrm {m}}\sin \omega t\right) ^{2}\mathrm {d}\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\sin ^{2}\omega t \mathrm {d}\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\int ^{\pi}_{0}\left( \frac {1-\cos 2\omega t}{2}\right) \mathrm {d}\left( \omega t\right) } \\[ 5pt ] &=& E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {1}{2}-\frac {\sin 2\omega t}{4}\right] ^{\pi}_{0} } \\[ 5pt ] &=& E_{\mathrm {m}}\sqrt {\frac {1}{\pi}\left[ \frac {\pi}{2}\right] } \\[ 5pt ] &=& \frac {E_{\mathrm {m}}}{\sqrt {2}}
\end{eqnarray}
\] と求められます。

2.同期発電機の誘導起電力\( \ E \ \)
周波数を\( \ f \ \mathrm {[Hz]} \ \)，\( \ 1 \ \)極の磁束\( \ \varPhi \ \mathrm {[Wb]} \ \)，\( \ 1 \ \)相あたりの直列に接続された電機子巻線の巻数\( \ N \ \)，巻線係数\( \ k \ \)とすると，三相同期発電機の誘導起電力\( \ E \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
E &=& \frac {2\pi }{\sqrt {2}} \ kf\varPhi N \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で求められます。
正確には分布係数と短節係数の積を磁束分布係数で割った数が巻線係数となります。

【解答】

解答：(3)
(ア)
題意より，\( \ e = vbl \ \)であり，\( \ v=2\tau f \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {m}} &=& vB_{\mathrm {m}}l \\[ 5pt ] &=& 2\tau fB_{\mathrm {m}}l \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。

(イ)
ワンポイント解説「1.正弦波の平均値及び実効値(定義)」より，\( \ \displaystyle B=\frac {2}{\pi }B_{\mathrm {m}} \ \)は平均値であることがわかります。

(ウ)
ワンポイント解説「2.同期発電機の誘導起電力\( \ E \ \)」より，適当なのは\( \ 4.44 \ \)となります。（暗記問題と考えて問題ありません。）

(エ)
ワンポイント解説「2.同期発電機の誘導起電力\( \ E \ \)」の通り，\( \ k_{\mathrm {w}} \ \)は巻線定数といいます。