《機械》〈自動制御〉[H30:問13]ブロック線図の伝達関数に関する計算問題

【問題】

【難易度】★★☆☆☆(やや易しい)

図のようなブロック線図で示す制御系がある。出力信号\( \ C \left( j\omega \right) \ \)の入力信号\( \ R \left( j\omega \right) \ \)に対する比,すなわち\(\displaystyle \frac {C \left( j\omega \right) }{R \left( j\omega \right) }\)を示す式として,正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

 (1) \(\displaystyle \frac {T_{1}+j\omega }{T_{2}+j\omega }\)  (2) \(\displaystyle \frac {T_{2}+j\omega }{T_{1}+j\omega }\)  (3) \(\displaystyle \frac {j\omega T_{1} }{1+j\omega T_{2} }\) 
 (4) \(\displaystyle \frac {1+j\omega T_{1} }{1+j\omega T_{2} }\)  (5) \(\displaystyle \frac {1+j\omega \displaystyle \frac {T_{1}}{T_{2}} }{1+j\omega T_{2} }\)

【ワンポイント解説】

ブロック線図と伝達関数に関する問題です。公式や等価変換表を暗記しても良いですが,なぜそうなるかを理解し,問題を解きながら徐々に覚えていくのが良いと思います。別解のように手計算で導出可能な場合も多いので,そのように解いても良いと思います。

【解答】

解答:(4)
問題の回路を等価変換すると図1のようになる。

図1より,中間部の信号を\( \ X \left( j\omega \right) \ \)とすると,
\[
\begin{eqnarray}
X \left( j\omega \right) &=&\frac {\displaystyle \frac {1}{j\omega T_{2}}}{1+\displaystyle \frac {1}{j\omega T_{2}}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1}{1+j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,
\[
\begin{eqnarray}
R \left( j\omega \right) &=&j\omega T_{2}\cdot \frac {T_{1}}{T_{2}}X \left( j\omega \right) +X \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left( 1+j\omega T_{1}\right) X \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\left( 1+j\omega T_{1}\right) \frac {1}{1+j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1+j\omega T_{1}}{1+j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(別解)
問題図の中間部の信号を図2のように置く。

図2より,
\[
\begin{eqnarray}
R \left( j\omega \right) -X_{2} \left( j\omega \right) &=&X_{1} \left( j\omega \right)   &・・・・・①& \\[ 5pt ] X_{2} \left( j\omega \right) &=&\frac {1}{j\omega T_{2}} X_{1} \left( j\omega \right)   &・・・・・②& \\[ 5pt ] C \left( j\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( j\omega \right) +X_{2} \left( j\omega \right)   &・・・・・③& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(②\)より,
\[
\begin{eqnarray}
X_{1} \left( j\omega \right) &=&j\omega T_{2}X_{2} \left( j\omega \right)                 &・・・・・②^{\prime }& \\[ 5pt ] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であるから,これを\(①\)に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
R \left( j\omega \right) -X_{2} \left( j\omega \right) &=&j\omega T_{2}X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] R \left( j\omega \right) &=&\left( 1 +j\omega T_{2}\right) X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] X_{2} \left( j\omega \right) &=&\frac {1}{1 +j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right)      &・・・・・④& \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。\(②^{\prime }\)及び\(④\)を\(③\)に代入すると,
\[
\begin{eqnarray}
C \left( j\omega \right) &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}X_{1} \left( j\omega \right) +X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {T_{1}}{T_{2}}\cdot j\omega T_{2}X_{2} \left( j\omega \right) +X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=& j\omega T_{1}X_{2} \left( j\omega \right) +X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \left( 1+ j\omega T_{1}\right) X_{2} \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=& \left( 1+ j\omega T_{1}\right) \cdot \frac {1}{1 +j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] &=&\frac {1+j\omega T_{1}}{1+j\omega T_{2}}R \left( j\omega \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。