【問題】
【難易度】★★★★☆（やや難しい）
次の文章は，一次元のポアソンの式に関する記述である。文中の\( \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ \)に当てはまる式又は数値を解答群の中から選び，その記号を記述用紙の解答欄に記入しなさい。
真空中に，図に示すように\( \ 2 \ \)枚の平行導体板が間隔\( \ d \ \)を隔てて向き合っている。その間に一定な密度\( \ \rho \ \)の空間電荷が一様に分布しているとする。また，電極の一方の電位は\( \ V_{1} \ \)に，他方は\( \ V_{2} \ \)に保たれている。電位\( \ V_{1} \ \)の電極から\( \ V_{2} \ \)の電極に向かう距離を\( \ x \ \)とするとき，\( \ 2 \ \)枚の電極間の任意の点の電位が\( \ x \ \)のどのような関数として表せるかをポアソンの式を用いて求めてみよう。なお，極板面積はその間隔に比べて十分に大きく，電位は\( \ x \ \)のみの関数として表されるものとする。また，真空の誘電率を\( \ \varepsilon _{0} \ \)とする。
電位\( \ V_{1} \ \)の電極から距離\( \ x \ \)離れた点の電界を\( \ E(x) \ \)とすれば，その点の単位面積当たりを通り抜ける電気力線数は\( \ E(x) \ \)本である。\( \ x \ \)が微小長さ\( \ \mathit {\Delta } x \ \)だけ増えた場合，\( \ x \ \)点の電気力線数に対し，\( \ \left( x+\mathit {\Delta } x \right) \ \)点の電気力線数の増分は単位面積と\( \ \mathit {\Delta } x \ \)の積からなる微小な体積から湧き出たものであり，それは\( \ \fbox { （１） } \ \)で表せる。それゆえ，単位体積当たりの電気力線の湧きはガウスの発散定理により，発散記号\( \ \mathrm {div} \ \)を使って書けば
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} E(x) &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ① \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。
一方，\( \ x \ \)点の電位を\( \ V(x) \ \)としたとき，電位こう配を\( \ \mathrm {grad} \ V(x) \ \)と書けば，電界\( \ E(x) \ \)と電位\( \ V(x) \ \)の関係は
\[
\begin{eqnarray}
E(x) &=& \ \fbox { （２） } \ \ \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ② \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
である。②式を①式に代入すれば，ポアソンの式として
\[
\begin{eqnarray}
&& \ \fbox { （３） } \ \ \ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ③ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
が得られる。
\( \ x=0 \ \)で\( \ V(0) =V_{1} \ \)，\( \ X = d \ \)で\( \ V(d) =V_{2} \ \)であることを考慮して，③式を解けば，任意の点\( \ x \ \)の電位\( \ V(x) \ \)は
\[
\begin{eqnarray}
V(x) &=&\left( \ \fbox { （４） } \ \right) \times x^{2}+\left( \ \fbox { （５） } \ \right) \times x+V_{1} ・・・・・・ ④ \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
として表せる。
〔問5の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} &（ロ）& \frac {\mathrm {d}^{2}V(x)}{\mathrm {d}x^{2}}=-\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} &（ハ）& \frac {\mathrm {d}E(x)}{\mathrm {d}x}\left( \mathit {\Delta } x\right) ^{2} \\[ 5pt ]
&（ニ）& \frac {V_{2}-V_{1}}{d}+\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}}d &（ホ）& \mathrm {grad} \ V(x) \mathit {\Delta } x &（ヘ）& \frac {\mathrm {d}E(x)}{\mathrm {d}x} \mathit {\Delta } x \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {\mathrm {d}^{2}V(x)}{\mathrm {d}x^{2}}=\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}x &（チ）& \frac {V_{2}-V_{1}}{d}-\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}}d &（リ）& -\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
&（ヌ）& -\mathrm {grad} \ V(x) &（ル）& \frac {\mathrm {d}E(x)}{\mathrm {d}x}\left( x+\mathit {\Delta } x\right) &（ヲ）& 0 \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {\mathrm {d}^{2}V(x)}{\mathrm {d}x^{2}}=0 &（カ）& \int _{0}^{x} \mathrm {grad} \ V(x) \mathrm {d} x &（ヨ）& \frac {V_{2}-V_{1}}{d} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
ポアソン方程式に関する問題です。
ポアソン方程式は電磁気学の専門書に記載がある内容で，ポアソン方程式の知識があれば完答が狙える問題です。
後半の積分の演算は\( \ 1 \ \)種では確実に解けるようにしておく必要があるレベルの内容となります。
1.\( \ \mathrm {grad} \ \)（勾配）
数学における\( \ \mathrm {grad} \ \)（勾配）は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {grad} \ V&=&\nabla V
&=&\left( \frac { \partial V}{ \partial x },\frac { \partial V}{ \partial y },\frac { \partial V}{ \partial z }\right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で定義されます。\( \ \nabla \ \)は数学で\( \ \displaystyle \nabla =\frac { \partial }{ \partial x }\boldsymbol i+\frac { \partial }{ \partial y }\boldsymbol j+\frac { \partial }{ \partial z }\boldsymbol k \ \)で定義される演算子です。
(\( \ \boldsymbol i \ \)，\( \ \boldsymbol j \ \)，\( \ \boldsymbol k \ \)は\( \ x \ \)軸，\( \ y \ \)軸，\( \ z \ \)軸の単位ベクトルです)
2.\( \ \mathrm {div} \ \)（発散）
数学における\( \ \mathrm {div} \ \)（発散）は，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol E&=&\frac { \partial E_{\mathrm {x}}}{ \partial x }+\frac { \partial E_{\mathrm {y}}}{ \partial y } +\frac { \partial E_{\mathrm {z}}}{ \partial z } \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で定義され，内積を用いて表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol E &=& \nabla \cdot \boldsymbol E \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
3.ポアソン方程式
電磁気における性質を表すマクスウェルの方程式として，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} \boldsymbol D &=&\rho &⇔& \nabla \cdot \boldsymbol D &=&\rho \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
があり，これを変形していくと，\( \ \boldsymbol D=\varepsilon _{0}\boldsymbol E \ \)から，
\[
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol E &=&\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。ここで，電界\( \ E \ \)は電位\( \ V \ \)の傾きであり，
\[
\begin{eqnarray}
\boldsymbol E &=& -\mathrm {grad} \ V \\[ 5pt ]
&=& -\nabla V \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるので，
\[
\begin{eqnarray}
-\nabla ^{2} V &=&\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\nabla ^{2} V &=&-\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをポアソン方程式といいます。もし，空間の電荷が零であれば\( \ \rho =0 \ \)であるため，
\[
\begin{eqnarray}
\nabla ^{2} V &=&0 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これをラプラス方程式といいます。
【解答】
(1)解答：ヘ
距離\( \ x \ \)における電界の変化量は\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}E(x)}{\mathrm {d}x} \ \)であり，空間電荷は一様に分布しているので，\( \ \left( x+\mathit {\Delta } x \right) \ \)点の電気力線数の増分は\( \ \displaystyle \frac {\mathrm {d}E(x)}{\mathrm {d}x}\mathit {\Delta } x \ \)と求められる。
(2)解答：ヌ
ワンポイント解説「3.ポアソン方程式」の通り，電界\( \ E(x) \ \)と電位\( \ V(x) \ \)の関係は，
\[
\begin{eqnarray}
E(x) &=& -\mathrm {grad} \ V(x) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ロ
②式を①式に代入すれば，ワンポイント解説「1.\( \ \mathrm {grad} \ \)（勾配）」及び「2.\( \ \mathrm {div} \ \)（発散）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {div} E(x) &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} E(x) &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left\{ -\mathrm {grad} \ V(x) \right\} &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} \left\{ -\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}x} V(x) \right\} &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
-\frac {\mathrm {d}^{2}V(x)}{\mathrm {d}x^{2}} &=& \frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\frac {\mathrm {d}^{2}V(x)}{\mathrm {d}x^{2}} &=& -\frac {\rho }{\varepsilon _{0}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：リ
(3)解答式を両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {\mathrm {d}V(x)}{\mathrm {d}x} &=& -\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}x+C_{1} \left( \ C_{1} \ は積分定数 \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，さらに両辺積分すると，
\[
\begin{eqnarray}
V(x) &=& -\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}}x^{2}+C_{1}x+C_{2} \left( \ C_{2} \ は積分定数 \right) \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ x^{2} \ \)の係数は\( \ \displaystyle -\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} \ \)と求められる。
(5)解答：ニ
(4)解答式において，\( \ x=0 \ \)で\( \ V(0) =V_{1} \ \)，\( \ X = d \ \)で\( \ V(d) =V_{2} \ \)であるから，
\[
\begin{eqnarray}
V_{1} &=& -\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}}\times 0^{2}+C_{1}\times 0+C_{2} \\[ 5pt ]
C_{2} &=& V_{1} \\[ 5pt ]
V_{2} &=& -\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} d^{2}+C_{1} d+V_{1} \\[ 5pt ]
C_{1} d &=& V_{2}-V_{1}+\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} d^{2} \\[ 5pt ]
C_{1} &=& \frac {V_{2}-V_{1}}{d}+\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}} d \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，\( \ x \ \)の係数は\( \ \displaystyle \frac {V_{2}-V_{1}}{d}+\frac {\rho }{2\varepsilon _{0}}d \ \)と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん