《理論》〈電気及び電子計測〉[H18:問4]交流ブリッジの平衡条件に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★★★☆☆（普通）

次の文章は，コイルの自己インダクタンス測定に用いる交流ブリッジの平衡条件に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる式を解答群の中から選び，その記号をマークシートに記入しなさい。

図1において，コイルのインダクタンスを$ \ L \ $，コイルの抵抗成分を$ \ R_{a} \ $とする。また，$ \ C \ $は静電容量，Ⓓは交流検出器であり，角周波数$ \ \omega \ $の交流電圧が印加されている。ただし，図中の各抵抗は無誘導抵抗とする。

いま，図1の$ \ R_{b} \ $，$R_{c} \ $，$R_{d} \ $からなる$ \ \mathrm {Y} \ $接続を$ \ \Delta \ $接続に変換すると，図2のようなブリッジの回路が得られる。

ここで，$ \ Z_{1} \ $，$Z_{2} \ $，$Z_{3} \ $はそれぞれ，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{1} &=& \frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d}}{R_{c}}，Z_{2} &=& \ \fbox {　（１）　} \ ，Z_{3} &=& \ \fbox {　（２）　} \ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。一方，図3に示すように，図2の$ \ R_{e} \ $，$ \ Z_{3} \ $，$ \ C \ $からなる$ \ \Delta \ $接続を$ \ \mathrm {Y} \ $接続に変換すると，$ \ Z_{5}= \ \fbox {　（３）　} \ $となる。

したがって，図1は図4のように表すことができ，交流ブリッジが平衡する条件は，$ \ R_{a}= \ \fbox {　（４）　} \ $，$ \ L= \ \fbox {　（５）　} \ $なる。

これにより，コイルの自己インダクタンスと抵抗成分が求められる。

〔問4の解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）&　\frac {j\omega CZ_{3}}{Z_{3}+R_{e}+j\omega C}　　　　　&（ロ）&　\frac {R_{b}\left( R_{f}+R_{e}\right) }{R_{d}} \\[ 5pt ] &（ハ）&　\frac {R_{e}Z_{3}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}}　　　　　&（ニ）&　\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}} \\[ 5pt ] &（ホ）&　\frac {R_{b}\left( R_{f}+R_{e}\right) }{R_{c}}　　　　　&（ヘ）&　\frac {R_{b}R_{d}-R_{b}R_{c}-R_{c}R_{d} }{R_{d}} \\[ 5pt ] &（ト）&　\frac {R_{f}}{R_{d}}C\left[ R_{c}\left( R_{b}+R_{d}\right) +R_{b}\left( R_{d}+R_{e}\right) \right]　　　　　&（チ）&　\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{d}} \\[ 5pt ] &（リ）&　\frac {R_{b}R_{d}-R_{b}R_{c}-R_{c}R_{d} }{R_{b}}　　　　　&（ヌ）&　\frac {R_{c}\left( R_{f}+R_{e}\right) }{R_{b}} \\[ 5pt ] &（ル）&　\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{e}}　　　　　&（ヲ）&　\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{a}} \\[ 5pt ] &（ワ）&　\frac {R_{c}}{R_{f}}C\left[ R_{d}\left( R_{f}+R_{c}\right) +R_{b}\left( R_{d}+R_{e}\right) \right]　　　　　&（カ）&　\frac {\displaystyle \frac {Z_{3}}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \\[ 5pt ] &（ヨ）&　\frac {R_{b}}{R_{e}}C\left[ R_{f}\left( R_{e}+R_{d}\right) +R_{b}\left( R_{d}+R_{c}\right) \right] && \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]

【ワンポイント解説】

交流ブリッジの平衡条件に関する問題です。
不平衡の$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換，及びブリッジ回路の平衡条件がわかれば解くことができますが，計算量が少し多めの問題となります。
$ \ 15 \ $分程度を目標に解いていくようにしましょう。

1.交流ブリッジ回路の平衡条件
図5の回路において，検流計Ⓓに電流が流れないようにしたとき，各インピーダンスの関係は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{1}{\dot Z}_{4}&=&{\dot Z}_{2}{\dot Z}_{3} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。これをブリッジの平衡条件といい，コンデンサの静電容量を求めるシェーリングブリッジ，電源の周波数を求めるウィーンブリッジ，コイルのインダクタンスを求めるヘイブリッジ，等様々な測定に利用されています。

2.$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換
①$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換
図6において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {a}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ab}}{\dot Z}_{\mathrm {ca}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {b}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {bc}}{\dot Z}_{\mathrm {ab}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {c}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {ca}}{\dot Z}_{\mathrm {bc}}}{{\dot Z}_{\mathrm {ab}}+{\dot Z}_{\mathrm {bc}}+{\dot Z}_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ②$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換
図6において，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ] {\dot Z}_{\mathrm {ca}}&=&\frac {{\dot Z}_{\mathrm {a}}{\dot Z}_{\mathrm {b}}+{\dot Z}_{\mathrm {b}}{\dot Z}_{\mathrm {c}}+{\dot Z}_{\mathrm {c}}{\dot Z}_{\mathrm {a}}}{{\dot Z}_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] 平衡三相回路においては，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot Z}_{\mathrm {ab}}={\dot Z}_{\mathrm {bc}}&=&{\dot Z}_{\mathrm {ca}}=3{\dot Z}_{\mathrm {a}}=3{\dot Z}_{\mathrm {b}}=3{\dot Z}_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：チ
図1の$ \ R_{b} \ $，$R_{c} \ $，$R_{d} \ $を$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換すると$ \ Z_{2} \ $は，ワンポイント解説「2.$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{2}&=&\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{d}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：ニ
(1)と同様に$ \ Z_{3} \ $は，ワンポイント解説「2.$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{3}&=&\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：カ
図2の$ \ R_{e} \ $，$Z_{3} \ $，$C \ $を$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換すると$ \ Z_{5} \ $は，ワンポイント解説「2.$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{5}&=&\frac {\displaystyle Z_{3}\cdot \frac {1}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {Z_{3}}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：ロ
(3)と同様に$ \ Z_{6} \ $は，ワンポイント解説「2.$ \ \Delta -\mathrm {Y} \ $変換と$ \ \mathrm {Y}-\Delta \ $変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
Z_{6}&=&\frac {\displaystyle R_{e}\cdot \frac {1}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \\[ 5pt ] &=&\frac {\displaystyle \frac {R_{e}}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となり，図4の回路が平衡する条件は，ワンポイント解説「1.交流ブリッジ回路の平衡条件」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
\left( R_{a}+j\omega L \right) Z_{5}&=&Z_{2}\left( R_{f}+Z_{6} \right) \\[ 5pt ] \left( R_{a}+j\omega L \right) \frac {\displaystyle \frac {Z_{3}}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}}&=&Z_{2}\left( R_{f}+\frac {\displaystyle \frac {R_{e}}{j\omega C}}{\displaystyle Z_{3}+R_{e}+\frac {1}{j\omega C}} \right) \\[ 5pt ] \frac {\displaystyle Z_{3}\left( R_{a}+j\omega L \right) }{\displaystyle 1+j\omega C\left( Z_{3}+R_{e}\right) }&=&Z_{2}\left\{ R_{f}+\frac {\displaystyle R_{e}}{\displaystyle 1+j\omega C\left( Z_{3}+R_{e}\right) } \right\} \\[ 5pt ] \frac {\displaystyle R_{a}Z_{3}+j\omega LZ_{3} }{\displaystyle 1+j\omega C\left( Z_{3}+R_{e}\right) }&=& R_{f}Z_{2}+\frac {\displaystyle R_{e}Z_{2}}{\displaystyle 1+j\omega C\left( Z_{3}+R_{e}\right) } \\[ 5pt ] \displaystyle R_{a}Z_{3}+j\omega LZ_{3}&=& R_{f}Z_{2}\left\{ 1+j\omega C\left( Z_{3}+R_{e}\right) \right\} +R_{e}Z_{2} \\[ 5pt ] &=& R_{f}Z_{2}+j\omega CR_{f}Z_{2}\left( Z_{3}+R_{e}\right) +R_{e}Z_{2} \\[ 5pt ] &=& \left( R_{f}+R_{e}\right) Z_{2}+j\omega CR_{f}Z_{2}\left( Z_{3}+R_{e}\right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。$ \ Z_{2} \ $及び$ \ Z_{3} \ $は抵抗成分のみであるため，上式の実部虚部がともに等しくなければならない。実部が等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
R_{a}Z_{3}&=&\left( R_{f}+R_{e}\right) Z_{2} \\[ 5pt ] R_{a}\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}}&=&\left( R_{f}+R_{e}\right) \frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{d}} \\[ 5pt ] \frac {R_{a}}{R_{b}}&=&\frac {R_{f}+R_{e} }{R_{d}} \\[ 5pt ] R_{a}&=&\frac {R_{b}\left( R_{f}+R_{e}\right) }{R_{d}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：ト
(4)と同様に，虚部が等しいことから，
\[
\begin{eqnarray}
\omega LZ_{3}&=&\omega CR_{f}Z_{2}\left( Z_{3}+R_{e}\right) \\[ 5pt ] LZ_{3}&=&CR_{f}Z_{2}\left( Z_{3}+R_{e}\right) \\[ 5pt ] L\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}}&=&CR_{f}\frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{d}}\left( \frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}}+R_{e}\right) \\[ 5pt ] \frac {L}{R_{b}}&=&\frac {CR_{f} }{R_{d}}\left( \frac {R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} }{R_{b}}+R_{e}\right) \\[ 5pt ] L&=&\frac {CR_{f} }{R_{d}}\left( R_{b}R_{d}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{d} +R_{b}R_{e}\right) \\[ 5pt ] &=&\frac {R_{f}}{R_{d}}C\left[ R_{c}\left( R_{b}+R_{d}\right) +R_{b}\left( R_{d}+R_{e}\right) \right] \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。