【問題】
【難易度】★★☆☆☆（やや易しい）
次の文章は，直流回路の電流計算の方法に関する記述である。文中の\( \ \fbox { （１） } \ \)から\( \ \fbox { （５） } \ \)までに当てはまる数値を解答群の中から選び，その記号を記述用紙の解答欄に記入し，また，\( \ \fbox { （６） } \ \)及び\( \ \fbox { （７） } \ \)に当てはまる数値を記述用紙の解答欄に記入しなさい。
図1に示す回路において，\( \ \displaystyle \frac {28}{265} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗\( \ R \ \)に流れる電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)を以下に示す手順に従ってテブナンの定理を用いて求める。
まず，図1の回路から抵抗\( \ R \ \)を取り除き，図2のような回路に描き直す。ただし，このとき\( \ 5 \ \mathrm {[V]} \ \)の電圧源と\( \ \displaystyle \frac {5}{7} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗の直列接続は，\( \ R_{x}= \ \fbox { （１） } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)の抵抗と\( \ I_{x}= \ \fbox { （２） } \ \mathrm {[A]} \ \)の電流源の並列接続に等価的に変換されている。この回路をもとに\( \ I_{1} \ \)と\( \ I_{2} \ \)を求めるとそれぞれ\( \ I_{1}= \ \fbox { （３） } \ \mathrm {[A]} \ \)，\( \ I_{2}= \ \fbox { （４） } \ \mathrm {[A]} \ \)となる。これより端子\( \ 0 \ \)を基準とした端子\( \ 1 \ \)の電圧\( \ V_{10} \ \)と端子\( \ 0 \ \)を基準とした端子\( \ 2 \ \)の電圧\( \ V_{20} \ \)を求め，その差より端子\( \ 2 \ \)を基準とした端子\( \ 1 \ \)の電圧\( \ V_{12} \ \)を求めると\( \ V_{12}= \ \fbox { （５） } \ \)となる。
次に，図2の電流源の大きさを零とした回路について端子\( \ 1-2 \ \)間からみた回路の抵抗を求めると\( \ \fbox { （６） } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)となる。これより端子\( \ 1-2 \ \)間に抵抗\( \ \displaystyle R=\frac {28}{265} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を接続したときに流れる電流\( \ I \ \)は\( \ \fbox { （７） } \ \mathrm {[A]} \ \)となる。
〔問6の\(（１）\)から\(（５）\)までの解答群〕
\[
\begin{eqnarray}
&（イ）& \frac {1}{7} &（ロ）& \frac {5}{7} &（ハ）& \frac {7}{5} \\[ 5pt ]
&（ニ）& 7 &（ホ）& \frac {25}{7} &（ヘ）& \frac {35}{53} \\[ 5pt ]
&（ト）& \frac {5}{53} &（チ）& \frac {2}{53} &（リ）& 5 \\[ 5pt ]
&（ヌ）& \frac {4}{53} &（ル）& \frac {6}{53} &（ヲ）& \frac {42}{53} \\[ 5pt ]
&（ワ）& \frac {8}{53} &（カ）& \frac {7}{53} &（ヨ）& \frac {14}{53} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
【ワンポイント解説】
平衡条件を満たさないブリッジ回路の解法に関する問題です。
ブリッジ回路の平衡条件を満たさないので，テブナンの定理を用いて解いていく必要があります。
小数ではなく分数を用いる等計算力を必要とする問題ですが，難解な公式を使用せず配点も高いので完答を目指すようにしましょう。
1.テブナンの定理
図3のように複雑な回路を電圧源\( \ V_{0} \ \mathrm {[V]} \ \)と抵抗\( \ R_{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)に置き換える方法です。
\( \ V_{0} \ \mathrm {[V]} \ \)は端子\( \ \mathrm {a} \ – \ \mathrm {b} \ \)の開放電圧，\( \ R_{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は端子\( \ \mathrm {a} \ – \ \mathrm {b} \ \)から電源側回路を見た合成抵抗となります。
ただし，\( \ R_{0} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を求める際，電圧源は短絡，電流源は開放します。
2.電圧源と電流源の等価変換
図4に示すように，電圧源と電流源は抵抗との直列接続と並列接続で等価変換をすることができます。
電圧源の電圧\( \ E \ \mathrm {[V]} \ \)と電流源の電流\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)には，
\[
\begin{eqnarray}
E &=&rI \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があります。
3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
①\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換
図5において，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {a}}&=&\frac {R_{\mathrm {ab}}R_{\mathrm {ca}}}{R_{\mathrm {ab}}+R_{\mathrm {bc}}+R_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {b}}&=&\frac {R_{\mathrm {bc}}R_{\mathrm {ab}}}{R_{\mathrm {ab}}+R_{\mathrm {bc}}+R_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {c}}&=&\frac {R_{\mathrm {ca}}R_{\mathrm {bc}}}{R_{\mathrm {ab}}+R_{\mathrm {bc}}+R_{\mathrm {ca}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
②\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換
図5において，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {ab}}&=&\frac {R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}+R_{\mathrm {c}}R_{\mathrm {a}}}{R_{\mathrm {c}}} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {bc}}&=&\frac {R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}+R_{\mathrm {c}}R_{\mathrm {a}}}{R_{\mathrm {a}}} \\[ 5pt ]
R_{\mathrm {ca}}&=&\frac {R_{\mathrm {a}}R_{\mathrm {b}}+R_{\mathrm {b}}R_{\mathrm {c}}+R_{\mathrm {c}}R_{\mathrm {a}}}{R_{\mathrm {b}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
平衡三相回路においては，
\[
\begin{eqnarray}
R_{\mathrm {ab}}=R_{\mathrm {bc}}&=&R_{\mathrm {ca}}=3R_{\mathrm {a}}=3R_{\mathrm {b}}=3R_{\mathrm {c}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)解答：ロ
ワンポイント解説「2.電圧源と電流源の等価変換」の通り，\( \ \displaystyle R_{x}= \frac {5}{7} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)と求められる。
(2)解答：ニ
ワンポイント解説「2.電圧源と電流源の等価変換」の通り，\( \ \displaystyle I_{x} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{x} &=&\frac {5}{\displaystyle \frac {5}{7}} \\[ 5pt ]
&=&7 \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)解答：ヘ
図2の回路の合成抵抗\( \ R^{\prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {1}{R^{\prime }} &=&\frac {1}{2+4}+\frac {1}{2+3}+\frac {1}{R_{x}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{6}+\frac {1}{5}+\frac {7}{5} \\[ 5pt ]
&=&\frac {5+6+42}{30} \\[ 5pt ]
&=&\frac {53}{30} \\[ 5pt ]
R^{\prime }&=&\frac {30}{53} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，電流源の電圧\( \ V \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V &=&R^{\prime }I_{x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {30}{53} \times 7 \\[ 5pt ]
&=&\frac {210}{53} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，\( \ I_{1} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{1} &=&\frac {V}{2+4} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {210}{53}}{6} \\[ 5pt ]
&=&\frac {35}{53} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)解答：ヲ
(3)と同様に\( \ I_{2} \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I_{2} &=&\frac {V}{2+3} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {210}{53}}{5} \\[ 5pt ]
&=&\frac {42}{53} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(5)解答：ヨ
端子\( \ 0 \ \)を基準とした端子\( \ 1 \ \)の電圧\( \ V_{10} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{10} &=&4I_{1} \\[ 5pt ]
&=&4\times \frac {35}{53} \\[ 5pt ]
&=&\frac {140}{53} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
であり，端子\( \ 0 \ \)を基準とした端子\( \ 2 \ \)の電圧\( \ V_{20} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{20} &=&3I_{2} \\[ 5pt ]
&=&3\times \frac {42}{53} \\[ 5pt ]
&=&\frac {126}{53} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，端子\( \ 2 \ \)を基準とした端子\( \ 1 \ \)の電圧\( \ V_{12} \ \mathrm {[V]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
V_{12} &=&V_{10}-V_{20} \\[ 5pt ]
&=&\frac {140}{53}-\frac {126}{53} \\[ 5pt ]
&=&\frac {14}{53} \ \mathrm {[V]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(6)解答：\( \ \displaystyle \frac {672}{265} \ \)
図2の電流源の大きさを零とし，端子\( \ 1-2 \ \)間から電源側をみた回路は図6のようになり，回路の上側の\( \ \Delta \ \)結線を\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換した回路は図7のようになる。
図7の\( \ R_{a} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{b} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)，\( \ R_{c} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，ワンポイント解説「3.\( \ \Delta -\mathrm {Y} \ \)変換と\( \ \mathrm {Y}-\Delta \ \)変換」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
R_{a}&=&\frac {\displaystyle 2\times 4}{\displaystyle 2+4+\frac {5}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle 8}{\displaystyle \frac {47}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {56}{47} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
R_{b}&=&\frac {\displaystyle 4\times \frac {5}{7}}{\displaystyle 2+4+\frac {5}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {20}{7}}{\displaystyle \frac {47}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {20}{47} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
R_{c}&=&\frac {\displaystyle \frac {5}{7}\times 2}{\displaystyle 2+4+\frac {5}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {10}{7}}{\displaystyle \frac {47}{7}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {10}{47} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，全体の合成抵抗\( \ R^{\prime \prime } \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
R^{\prime \prime } &=&R_{a}+\frac {\left( R_{b}+3\right) \left( R_{c}+2\right) }{\left( R_{b}+3\right) + \left( R_{c}+2\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {56}{47}+\frac {\displaystyle \left( \frac {20}{47}+3\right) \times \left( \frac {10}{47}+2\right) }{\displaystyle \left( \frac {20}{47}+3\right) + \left( \frac {10}{47}+2\right) } \\[ 5pt ]
&=&\frac {56}{47}+\frac {\displaystyle \frac {161}{47} \times \frac {104}{47} }{\displaystyle \frac {161}{47}+ \frac {104}{47} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {56}{47}+\frac {\displaystyle \frac {161\times 104}{47\times 47} }{\displaystyle \frac {265}{47} } \\[ 5pt ]
&=&\frac {56}{47}+\frac {161\times 104 }{265\times 47 } \\[ 5pt ]
&=&\frac {265\times 56}{265\times 47}+\frac {16 \ 744 }{265\times 47 } \\[ 5pt ]
&=&\frac {31 \ 584}{265\times 47} \\[ 5pt ]
&=&\frac {672}{265} \ \mathrm {[\Omega ]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(7)解答：\( \ \displaystyle \frac {1}{10} \ \)
ワンポイント解説「1.テブナンの定理」の通り，端子\( \ 1-2 \ \)間に抵抗\( \ \displaystyle R=\frac {28}{265} \ \mathrm {[\Omega ]} \ \)を接続したときの回路は図8のようになるので，\( \ I \ \mathrm {[A]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {V_{12}}{R^{\prime \prime } +R} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {14}{53}}{\displaystyle \frac {672}{265}+\frac {28}{265}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {\displaystyle \frac {14}{53}}{\displaystyle \frac {700}{265}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {14\times 265}{53\times 700} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1}{10} \ \mathrm {[A]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん