《機械》〈照明〉[H18:問6]投光器による照度と光度の導出に関する計算問題

1 【問題】
2 【ワンポイント解説】
3 【解答】

【問題】

【難易度】★☆☆☆☆（易しい）

次の文章は，照度と光度を求める計算に関する記述である。文中の$ \ \fbox{$\hskip3em\Rule{0pt}{0.8em}{0em}$} \ $に当てはまる式又は数値を記述用紙の解答欄に記入しなさい。

図に示すように、原点$ \ \mathrm {O} \ $，$ \ z \ $軸上の高さ$ \ 12 \ \mathrm {[m]} \ $から投光器$ \ 1 \ $台で空き地を照明している。投光器の光軸は$ \ x \ $軸上の点$ \ \mathrm {p} \ $を通る。また，投光器の光軸から水平角$ \ \varphi =30 \ $度の方向，原点$ \ \mathrm {O} \ $から水平直線距離$ \ 60 \ \mathrm {[m]} \ $のところに民家の窓（$ \ yz \ $平面に平行，中心高さは$ \ xy \ $平面上$ \ 1.5 \ \mathrm {[m]} \ $）がある。

$ \ \mathrm {a.} \ $投光器から窓方向の光度を$ \ I=50 \ 000 \ \mathrm {[cd]} \ $とするときの窓面の鉛直面照度$ \ E_{v} \ $を計算する。

いま，窓中心点における投光器方向の鉛直面照度$ \ E_{v0} \ $を光度$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $，高さ$ \ h \ \mathrm {[m]} \ $及び鉛直角$ \ \theta \ $を用いた式で表すと①式に，窓中心点におけるその面の鉛直面照度$ \ E_{v} \ $を求める式として$ \ \varphi \ $を用いて表すと②式となる。
\[
\begin{eqnarray}
E_{v0}&=&\frac {I}{h^{2}}\times \fbox {　（１）　} 　・・・・・・・・・・・　① \\[ 5pt ] E_{v}&=&\frac {I}{h^{2}}\times \fbox {　（２）　} 　・・・・・・・・・・・　② \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] ここで，$ \ \sin \theta =0.985 \ $として，窓面の鉛直面照度$ \ E_{v} \ $を小数点以下$ \ 1 \ $けたまで求めると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{v}&=& \ \fbox {　（３）　} \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

$ \ \mathrm {b.} \ $次に，窓面の鉛直面照度$ \ E_{v} \ $を$ \ 5.0 \ \mathrm {[lx]} \ $以下にするための，投光器から窓方向の光度$ \ I_{l} \ \mathrm {[cd]} \ $を求める。

②式を変形し，光度を求める式にすると③式が導かれる。
\[
\begin{eqnarray}
I_{l}&=& \ \fbox {　（４）　} 　・・・・・・・・・・・・・・・　③ \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] これより，投光器から窓方向の光度$ \ I_{l} \ \mathrm {[cd]} \ $を有効数字$ \ 3 \ $けたとして求めると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{l}&=& \ \fbox {　（５）　} \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となる。

【ワンポイント解説】

投光器の光度と窓面の鉛直面照度を考える問題です。
立体的に考える必要がありますが，基本公式以外使用しないので，ぜひ完答を目指すようにして下さい。

1.光束$ \ F \ $
光源から出る可視光の量（エネルギー）で，単位は$ \ \mathrm {[lm]} \ $となります。
電磁気の分野の電束に似たようなイメージで良いです。

2.立体角の定義
図2のように球体があり，半径$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $の錐体が球面を切り取った時の面積を$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $とすると，立体角$ \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&\frac {S}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] であり，平面角$ \ \theta \ \mathrm {[rad]} \ $で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
\omega &=&2\pi \left( 1-\cos \theta \right) \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。球全体の立体角は$ \ \theta = \pi \ $の時であり，$ \ \omega =4\pi \ $となります。

3.光度$ \ I \ $
ある方向に向かう光束$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $を立体角$ \ \omega \ \mathrm {[sr]} \ $で割ったもので，光度$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $を式で表すと，
\[
\begin{eqnarray}
I &=&\frac {F}{\omega } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。

4.照度$ \ E \ $
単位面積あたりの光束で単位は$ \ \mathrm {[lx]} \ $で，図4のように光源から面積$ \ S \ \mathrm {[m^{2}]} \ $の面に入射する光束が$ \ F \ \mathrm {[lm]} \ $であるとき，平均照度$ \ E \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {F}{S} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となります。
また，光源からある方向へ向かう光度が$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $であるとき，光源からの距離$ \ l \ \mathrm {[m]} \ $離れた垂直面の照度$ \ E \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E&=&\frac {I}{l^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められます。このように，一般に物理量が$ \ 2 \ $乗に反比例する法則を逆$ \ 2 \ $乗の法則といいます。

5.法線照度$ \ E_{\mathrm {n}} \ $，水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ $，鉛直面照度$ \ E_{\mathrm {v}} \ $
図5のように，点光源から光度$ \ I \ \mathrm {[cd]} \ $で$ \ \mathrm {C} \ $点に向かって光が照射されているとき，法線照度$ \ E_{\mathrm {n}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {n}} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] で表され，水平面照度$ \ E_{\mathrm {h}} \ \mathrm {[lx]} \ $及び鉛直面照度$ \ E_{\mathrm {v}} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{\mathrm {h}} &=&E_{\mathrm {n}}\cos \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{r^{2}}\cdot \frac {h}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {hI}{r^{3}} \\[ 5pt ] E_{\mathrm {v}} &=&E_{\mathrm {n}}\sin \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{r^{2}}\cdot \frac {d}{r} \\[ 5pt ] &=&\frac {dI}{r^{3}}
\end{eqnarray}
\] となります。

【解答】

(1)解答：$ \ \cos^{2} \theta \sin \theta \ $
投光器から窓中心までの距離を$ \ r \ \mathrm {[m]} \ $とすると，法線照度$ \ E_{n} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{n} &=&\frac {I}{r^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{\displaystyle \left( \frac {h}{\cos \theta }\right)^{2}} \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{h^{2}}\cos^{2} \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，図6に示す三角形に着目すると，投光器方向の鉛直面照度$ \ E_{v0} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{v0} &=&E_{n}\sin \theta \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{h^{2}}\cos^{2} \theta \sin \theta \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(2)解答：$ \ \cos^{2} \theta \sin \theta \cos \varphi \ $
図7に示す三角形に着目すると，窓中心点におけるその面の鉛直面照度$ \ E_{v} \ \mathrm {[lx]} \ $は，
\[
\begin{eqnarray}
E_{v} &=&E_{v0} \cos \varphi \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{h^{2}}\cos^{2} \theta \sin \theta \cos \varphi \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(3)解答：$ \ 11.5 \ $
題意より，
\[
\begin{eqnarray}
h &=&12-1.5 \\[ 5pt ] &=&10.5 \ \mathrm {[m]} \\[ 5pt ] \cos \theta &=&\sqrt {1-\sin ^{2} \theta } \\[ 5pt ] &=&\sqrt {1-0.985 ^{2} } \\[ 5pt ] &≒&0.172 \ 55 \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] となるので，(2)解答式に代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{v} &=&\frac {I}{h^{2}}\cos^{2} \theta \sin \theta \cos \varphi \\[ 5pt ] &=&\frac {I}{h^{2}}\cos^{2} \theta \sin \theta \cos 30^{\circ} \\[ 5pt ] &=&\frac {50 \ 000}{10.5^{2}}\times 0.172 \ 55^{2}\times 0.985\times \frac {\sqrt {3}}{2} \\[ 5pt ] &≒&11.518　→　11.5 \ \mathrm {[lx]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(4)解答：$ \ \displaystyle \frac {E_{v} h^2}{\cos ^2 \theta \sin \theta \cos \varphi } \ $
$ \ I=I_{l} \ $として，(2)解答式を$ \ I_{l} \ $について整理すると，
\[
\begin{eqnarray}
E_{v} &=&\frac {I_{l}}{h^{2}}\cos^{2} \theta \sin \theta \cos \varphi \\[ 5pt ] I_{l}&=&\frac {E_{v} h^2}{\cos ^2 \theta \sin \theta \cos \varphi } \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

(5)解答：$ \ 21 \ 700 \ $
$ \ E_{v} = 5.0 \ \mathrm {[lx]} \ $以外は$ \ \mathrm {a.} \ $と同じなので，各値を代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
I_{l}&=&\frac {E_{v} h^2}{\cos ^2 \theta \sin \theta \cos \varphi } \\[ 5pt ] &=&\frac {E_{v} h^2}{\cos ^2 \theta \sin \theta \cos 30^{\circ} } \\[ 5pt ] &=&\frac {5.0\times 10.5^2}{\displaystyle 0.172 \ 55^{2}\times 0.985 \times \frac {\sqrt {3}}{2} } \\[ 5pt ] &≒&21 \ 700 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\] と求められる。

※条件が$ \ \mathrm {a.} \ $と同じなので，以下のように光度$ \ I \ $と鉛直面照度$ \ E_{v} \ $が比例するとして計算しても大丈夫です。
\[
\begin{eqnarray}
I_{l}&=&\frac {5.0}{11.518 }\times 50 \ 000 \\[ 5pt ] &≒&21 \ 700 \ \mathrm {[cd]} \\[ 5pt ] \end{eqnarray}
\]