【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図に示す系統において，母線，遮断器，変圧器及び送電線の設備当たりの事故確率及び平均事故継続時間がそれぞれ表のように与えられるとき，負荷側から見た系統全体の次の値を求めよ。なお，各設備に事故が発生した場合，供給支障が生じるものとし，また，本問題に限り有効数字\( \ 2 \ \)けたで答えること。
(1) 事故確率
(2) 事故頻度［回／年］
(3) 平均運転継続時間［時間］
(4) 事故継続時間（事故持続時間）［時間］
表
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& 母線 & 遮断器 & 変圧器 & 送電線 \\
\hline
設備数 & 3 \ 箇所 & 5 \ 台 & 1 \ バンク & 1 \ 回線 \\
\hline
設備当たりの事故確率 & 7 \times 10^{-6} & 5 \times 10^{-6} & 4 \times 10^{-6} & 8 \times 10^{-5} \\
\hline
平均事故継続時間［時間］ ※ & 0.7 & 2.6 & 10 & 0.5 \\
\hline
\end{array}
\]
※各設備に事故が発生した場合における復旧までの平均時間
【ワンポイント解説】
系統における供給支障事故発生確率の演算に関する問題です。
出題頻度が高くない問題なので，多くの受験生がその場で考え解いていった問題かと思います。
このような問題を攻略するためには，日頃から高い数学力を身につけていくことが重要です。
1.系統の供給支障事故確率の計算
一般に直列に設備が接続されているときの系統の供給支障事故確率の計算に用いられる事故確率，事故頻度，平均運転継続時間，平均事故継続時間の関係は，設備毎の事故確率と平均事故継続時間が与えられているとき，以下の通りとなります。
①事故確率\( \ r \ \)
事故確率を\( \ r \ \)，平均事故継続時間を\( \ T_{0} \ \mathrm {[h]} \ \)，平均運転継続時間を\( \ T_{1} \ \mathrm {[h]} \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
r &=& \frac {T_0}{T_1 + T_0} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，一般に\( \ T_{0} \ll T_{1} \ \)であるため，
\[
\begin{eqnarray}
r &≒& \frac {T_0}{T_{1}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
②系統の事故頻度\( \ f_{\mathrm {s}} \ \)
各設備単体の事故頻度は，各設備単体の平均運転継続時間を\( \ T_{1} \ \mathrm {[h]} \ \)とすると，単位時間あたりの事故発生頻度であるため\( \ \displaystyle f ≒ \frac{1}{T_1} \ \)となり，系統全体の事故頻度\( \ f_{\mathrm {s}} \ \)は各設備の事故率の合計となるから，
\[
\begin{eqnarray}
f_{\mathrm {s}} &=& \sum \frac{\text{設備数}}{T_1} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
③平均運転継続時間\( \ T_{\mathrm {1}} \ \)
系統全体の平均運転継続時間\( \ T_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[h]} \ \)は何時間運転したら\( \ 1 \ \)回事故が起こるかの割合なので，系統全体の事故頻度\( \ f_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[回 / h]} \ \)の逆数となり，
\[
\begin{eqnarray}
T_{\mathrm {s}} &=& \frac{1}{f_{\mathrm {s}}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。
【解答】
(1)事故確率
事故確率\( \ r \ \)は，母線，遮断器，変圧器及び送電線のいずれかが事故発生するときの確率なので，全体から健全に運転継続している確率を差し引いたものとなる。したがって，
\[
\begin{eqnarray}
r &=& 1-\left( 1-7 \times 10^{-6} \right) ^{3}\left( 1-5 \times 10^{-6} \right) ^{5} \left( 1-4 \times 10^{-6} \right) \left( 1-8 \times 10^{-5} \right) \\[ 5pt ]
&≒& 1-\left( 1-3\times 7 \times 10^{-6} \right) \left( 1-5 \times 5 \times 10^{-6} \right) \left( 1-4 \times 10^{-6} \right) \left( 1-8 \times 10^{-5} \right) \\[ 5pt ]
&≒& 1-\left( 1-3\times 7 \times 10^{-6}-5 \times 5 \times 10^{-6} \right) \left( 1-4 \times 10^{-6} \right) \left( 1-8 \times 10^{-5} \right) \\[ 5pt ]
&≒& 1-\left( 1-3\times 7 \times 10^{-6}-5 \times 5 \times 10^{-6}-4 \times 10^{-6} \right) \left( 1-8 \times 10^{-5} \right) \\[ 5pt ]
&≒& 1-\left( 1-3\times 7 \times 10^{-6}-5 \times 5 \times 10^{-6}-4 \times 10^{-6}-8 \times 10^{-5} \right) \\[ 5pt ]
&≒& 3\times 7 \times 10^{-6}+5 \times 5 \times 10^{-6}+4 \times 10^{-6}+8 \times 10^{-5} \\[ 5pt ]
&=& 1.3 \times 10^{-4} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
※ 電卓であれば，上記近似計算を使用しなくても解くことは可能です。
(2)事故頻度［回／年］
事故確率を\( \ r \ \)，平均事故継続時間を\( \ T_{0} \ \mathrm {[h]} \ \)，平均運転継続時間を\( \ T_{1} \ \mathrm {[h]} \ \)の関係は，ワンポイント解説「1.系統の供給支障事故確率の計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
r &=& \frac {T_0}{T_1 + T_0} \\[ 5pt ]
&≒& \frac {T_0}{T_1} \\[ 5pt ]
T_1&≒& \frac {T_0}{r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
の関係があるため，母線，遮断器，変圧器及び送電線の平均運転継続時間\( \ T_{1B} \ \mathrm {[h]} \ \)，\( \ T_{1C} \ \mathrm {[h]} \ \)，\( \ T_{1T} \ \mathrm {[h]} \ \)及び\( \ T_{1L} \ \mathrm {[h]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
T_{1B} &≒& \frac {0.7}{7 \times 10^{-6}} \\[ 5pt ]
&=& 1.0 \times 10^{5} \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
T_{1C} &≒& \frac {2.6}{5 \times 10^{-6}} \\[ 5pt ]
&=& 5.2 \times 10^{5} \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
T_{1T} &≒& \frac {10}{4 \times 10^{-6}} \\[ 5pt ]
&=& 2.5 \times 10^{6} \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
T_{1L} &≒& \frac {0.5}{8 \times 10^{-5}} \\[ 5pt ]
&=& 6.25 \times 10^{3} \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，系統全体の事故頻度\( \ f_{s} \ \mathrm {[回 / h]} \ \)は，ワンポイント解説「1.系統の供給支障事故確率の計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
f_{s} &=& \frac {3}{T_{1B}}+\frac {5}{T_{1C}}+\frac {1}{T_{1T}}+\frac {1}{T_{1L}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {3}{1.0 \times 10^{5}}+\frac {5}{5.2 \times 10^{5}}+\frac {1}{2.5 \times 10^{6}}+\frac {1}{6.25 \times 10^{3}} \\[ 5pt ]
&≒& 2.000 \times 10^{-4} \ \mathrm {[回 / h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，\( \ 1 \ \)年あたりの事故頻度\( \ f_{s} \ \mathrm {[回 / 年]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
f_{s} &=&2.000 \times 10^{-4}\times 365\times 24 \\[ 5pt ]
&=& 1.752 → 1.8 \ \mathrm {[回 / 年]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(3)平均運転継続時間［時間］
系統全体の平均運転継続時間\( \ T_{s} \ \mathrm {[h]} \ \)は，ワンポイント解説「1.系統の供給支障事故確率の計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
T_{s} &=& \frac {1}{f_{s}} \\[ 5pt ]
&=& \frac {1}{2.000 \times 10^{-4}} \\[ 5pt ]
&≒& 5 \ 000 \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(4)事故継続時間（事故持続時間）［時間］
系統全体の事故継続時間\( \ T_{r} \ \mathrm {[h]} \ \)は，ワンポイント解説「1.系統の供給支障事故確率の計算」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
T_{r} &=& r\left( T_{s}+T_{r}\right) \\[ 5pt ]
&≒& rT_{s} \\[ 5pt ]
&=& 1.3 \times 10^{-4}\times 5 \ 000 \\[ 5pt ]
&=& 0.65 \ \mathrm {[h]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん