【問題】
【難易度】★★★☆☆（普通）
図に示すような\( \ 2 \ \)回線の送電線において，送電端の電圧（単位法表記）を\( \ 1 \angle \delta \ \)，負荷端の電圧（単位法表記）を\( \ V_{r} \angle 0 \ \)とし，負荷端に遅れ力率\( \ 0.9 \ \)の負荷が接続された場合について，次の問に答えよ。ただし，送電線\( \ 1 \ \)回線のリアクタンス（単位法表記）を\( \ 1 \ \)とし，送電線の抵抗及び静電容量は無視するものとする。また，計算式には次の記号を使用し，すべて単位法\( \ \mathrm {[p.u.]} \ \)で表すものとする。
\( \ V_{s} \ \)：送電端電圧 \( \ P_{r} \ \)：負荷の有効電力
\( \ V_{r} \ \)：負荷端電圧 \( \ Q_{r} \ \)：負荷の無効電力
\( \ x \ \)：送電線のリアクタンス
(1) 負荷の力率が一定で負荷の有効電力\( \ P_{r} \ \)が変化したとき，負荷端の安定な方の電圧の大きさを表す式を求めよ。
(2) 負荷端に調相設備を接続し，負荷端電圧を送電端電圧と同じ\( \ 1 \ \mathrm {[p.u.]} \ \)にしたときの最大送電電力\( \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求めよ。また，そのときに必要な調相容量\( \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求めよ。
【ワンポイント解説】
送電線における電力演算に関する問題です。
計算量が少し多いですが，考え方はそれほど難しくないため，★２に近い印象の問題かと思います。
計算パターンも決まっていますので，ぜひ完答を目指すようにしましょう。
1.オイラーの公式
複素計算で用いるオイラーの公式は以下の通りとなります。こちらは覚えるようにしましょう。
\[
\begin{eqnarray}
\mathrm {e}^{\mathrm {j}\theta }&=&\cos \theta +\mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ]
\mathrm {e}^{\mathrm {-j}\theta }&=&\cos \theta -\mathrm {j}\sin \theta \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
2.複素電力
三相線路において，送電端電圧（相電圧）を\( \ {\dot E}_{\mathrm {s}} \ \mathrm {[V]} \ \)，受電端電圧（相電圧）を\( \ {\dot E}_{\mathrm {r}} \ \mathrm {[V]} \ \)，送電線電流を\( \ \dot I \ \mathrm {[A]} \ \)とすると，受電端への送電電力\( \ P+\mathrm {j}Q \ \mathrm {[V\cdot A]} \ \)は遅れ無効電力を正とすると，
\[
\begin{eqnarray}
P+\mathrm {j}Q&=&3{\dot E}_{\mathrm {r}}\overline {\dot I} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
で求められます。ただし，\( \ \overline {\dot I} \ \)は\( \ \dot I \ \)の共役複素数であり，\( \ \dot I =I_{\mathrm {r}}+\mathrm {j}I_{\mathrm {i}} \ \)であるとき，\( \ \overline {\dot I}=I_{\mathrm {r}}-\mathrm {j}I_{\mathrm {i}} \ \)となります。
ここで，基準容量を\( P_{\mathrm {n}}=3E_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}} \ \)としたとき，単位法での複素電力は，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {P}{3E_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}+\mathrm {j}\frac {Q}{3E_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}}&=&\frac {3{\dot E}_{\mathrm {r}}\overline {\dot I}}{3E_{\mathrm {n}}I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
\frac {P}{P_{\mathrm {n}}}+\mathrm {j}\frac {Q}{P_{\mathrm {n}}}&=&\frac {{\dot E}_{\mathrm {r}}}{E_{\mathrm {n}}}\frac {\overline {\dot I}}{I_{\mathrm {n}}} \\[ 5pt ]
P+\mathrm {j}Q &=&{\dot E}_{\mathrm {r}} \overline {\dot I} \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。単位法で表す場合，\( \ 3 \ \)倍する必要がないことに注意して下さい。
3.受電端母線の電圧の大きさ\( \ V_{\mathrm {r}} \ \)と受電端有効電力\( \ P \ \)の間の関係（\( \ P-V \ \)カーブ）
図1のような無限大母線（電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {s}}=V_{\mathrm {s}}∠\delta \ \)）からリアクタンス\( \ X \ \)及び受電側母線（電圧\( \ {\dot V}_{\mathrm {r}}=V_{\mathrm {r}}∠0 \ \)）を介して抵抗負荷に電力\( \ P \ \)を供給している系統を考えます。
（ここでは，簡単のため抵抗負荷を使用していますが，ノーズカーブの形は抵抗負荷以外でも同じとなります。）
リアクタンスを流れる電流を\( \ \dot I \ \)とすると，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{\mathrm {s}}-{\dot V}_{\mathrm {r}}&=&\mathrm {j}X\dot I \\[ 5pt ]
\dot I&=&\frac {V_{\mathrm {s}}∠\delta -V_{\mathrm {r}}}{\mathrm {j}X} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，受電端複素電力\( \ P \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P&=&{\dot V}_{\mathrm {r}}\overline {\dot I} \\[ 5pt ]
&=&V_{\mathrm {r}}\cdot \frac {V_{\mathrm {s}}∠\left( -\delta \right) -V_{\mathrm {r}}}{-\mathrm {j}X} \\[ 5pt ]
&=&\mathrm {j}V_{\mathrm {r}}\cdot \frac {V_{\mathrm {s}}∠\left( -\delta \right) -V_{\mathrm {r}}}{X} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V_{\mathrm {s}}V_{\mathrm {r}}∠\left( -\delta +\displaystyle \frac {\pi }{2}\right) -\mathrm {j}V_{\mathrm {r}}^{2}}{X} \\[ 5pt ]
P+\mathrm {j}\frac {V_{\mathrm {r}}^{2}}{X}&=&\frac {V_{\mathrm {s}}V_{\mathrm {r}}∠\left( -\delta +\displaystyle \frac {\pi }{2}\right) }{X} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となります。両辺の大きさ（絶対値）は等しいので，
\[
\begin{eqnarray}
P^{2}+\left( \frac {V_{\mathrm {r}}^{2}}{X}\right) ^{2}&=&\left( \frac {V_{\mathrm {s}}V_{\mathrm {r}}}{X}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，これを\( \ V_{\mathrm {r}} \ \)について整理して\( \ V_{\mathrm {r}} \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
\frac {V_{\mathrm {r}}^{4}}{X^{2}}-\frac {V_{\mathrm {s}}^{2}V_{\mathrm {r}}^{2}}{X^{2}}+P^{2}&=&0 \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {r}}^{4}-V_{\mathrm {s}}^{2}V_{\mathrm {r}}^{2}+X^{2}P^{2}&=&0 \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {r}}^{2}&=&\frac {V_{\mathrm {s}}^{2}±\sqrt {V_{\mathrm {s}}^{4}-4X^{2}P^{2}}}{2} \\[ 5pt ]
V_{\mathrm {r}}&=&\sqrt {\frac {V_{\mathrm {s}}^{2}±\sqrt {V_{\mathrm {s}}^{4}-4X^{2}P^{2}}}{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められます。上式について，受電端母線の電圧\( \ V_{\mathrm {r}} \ \)と受電端電力\( \ P \ \)の間の関係（\( \ P-V \ \)カーブ）を描くと図2のようになり，これをノーズカーブと呼びます。
図2より，同じ電力において電圧が\( \ 2 \ \)点ある（上式の\( \ 2 \ \)つの解）ことが分かり，電圧が高い方を高め解（安定），電圧が低い方を低め解（不安定）と言います。
【解答】
(1)負荷端の安定な方の電圧の大きさを表す式
負荷の複素電力\( \ P_{r}+jQ_{r} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求める式より，送電線を流れる電流\( \ \dot I \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は，ワンポイント解説「2.複素電力」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
P_{r}+jQ_{r}&=&{\dot V}_{r}\overline {\dot I} \\[ 5pt ]
\overline {\dot I}&=&\frac {P_{r}+jQ_{r}}{{\dot V}_{r}} \\[ 5pt ]
\dot I&=&\frac {P_{r}-jQ_{r}}{\overline {{\dot V}_{r}}} \\[ 5pt ]
&=&\frac {P_{r}-jQ_{r}}{V_{r}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，送電端電圧\( \ {\dot V}_{s} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{s}&=&{\dot V}_{r}+jx{\dot I} \\[ 5pt ]
&=&V_{r}+jx\frac {P_{r}-jQ_{r}}{V_{r}} \\[ 5pt ]
&=&V_{r}+\frac {xQ_{r}}{V_{r}}+j\frac {xP_{r}}{V_{r}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，送電端電圧の大きさ\( \ V_{s} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求める式を整理して，\( \ V_{r} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求めると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{s}&=&\sqrt {\left( V_{r}+\frac {xQ_{r}}{V_{r}}\right) ^{2}+\left( \frac {xP_{r}}{V_{r}}\right) ^{2}} \\[ 5pt ]
{V_{s}}^{2}&=&\left( V_{r}+\frac {xQ_{r}}{V_{r}}\right) ^{2}+\left( \frac {xP_{r}}{V_{r}}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
{V_{s}}^{2} {V_{r}}^{2}&=&\left( {V_{r}}^{2}+xQ_{r}\right) ^{2}+\left( xP_{r}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
{V_{s}}^{2} {V_{r}}^{2}&=&{V_{r}}^{4}+2xQ_{r}{V_{r}}^{2}+\left( xQ_{r}\right) ^{2}+\left( xP_{r}\right) ^{2} \\[ 5pt ]
{V_{r}}^{4}+\left( 2xQ_{r}-{V_{s}}^{2}\right) {V_{r}}^{2}+x^{2}\left( P_{r}^{2}+Q_{r}^{2}\right) &=&0 \\[ 5pt ]
{V_{r}}^{2}&=&\frac {-\left( 2xQ_{r}-{V_{s}}^{2}\right) ±\sqrt {\left( 2xQ_{r}-{V_{s}}^{2}\right) ^{2}-4x^{2}\left( P_{r}^{2}+Q_{r}^{2}\right) }}{2} \\[ 5pt ]
V_{r}&=&\sqrt {\frac {-\left( 2xQ_{r}-{V_{s}}^{2}\right) ±\sqrt {\left( 2xQ_{r}-{V_{s}}^{2}\right) ^{2}-4x^{2}\left( P_{r}^{2}+Q_{r}^{2}\right) }}{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となり，題意より，
\[
\begin{eqnarray}
V_{s}&=&1 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ]
x&=&1\times \frac {1}{2} \\[ 5pt ]
&=&0.5 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ]
Q_{r}&=&P_{r}\tan \theta \\[ 5pt ]
&=&P_{r}\frac {\sin \theta}{\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&P_{r}\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&P_{r}\frac {\sqrt {1-0.9 ^{2} }}{0.9 } \\[ 5pt ]
&≒&0.484 \ 32P_{r} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，これらを代入すると，
\[
\begin{eqnarray}
V_{r}&=&\sqrt {\frac {-\left( 2\times 0.5\times 0.484 \ 32P_{r} -1^{2}\right) ±\sqrt {\left( 2\times 0.5\times 0.484 \ 32P_{r}-1^{2}\right) ^{2}-4\times 0.5^{2}\times \left\{ P_{r}^{2}+\left( 0.484 \ 32P_{r}\right)^{2}\right\} }}{2}} \\[ 5pt ]
&≒&\sqrt {\frac {1-0.484 \ 32P_{r} ±\sqrt {\left( 0.484 \ 32P_{r}-1\right) ^{2}- 1.234 \ 6 P_{r}^{2} }}{2}} \\[ 5pt ]
&≒&\sqrt {\frac {1-0.484 \ 32P_{r} ±\sqrt {0.234 \ 57P_{r}^{2}-0.968 \ 64P_{r}+1- 1.234 \ 6 P_{r}^{2} }}{2}} \\[ 5pt ]
&≒&\sqrt {\frac {1-0.484 \ 32P_{r} ±\sqrt {1-0.968 \ 64P_{r}- P_{r}^{2} }}{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。したがって，安定な方の電圧（高め解）は，ワンポイント解説「3.受電端母線の電圧の大きさ\( \ V_{\mathrm {r}} \ \)と受電端有効電力\( \ P \ \)の間の関係（\( \ P-V \ \)カーブ）」の通り，
\[
\begin{eqnarray}
V_{r}&=&\sqrt {\frac {1-0.484P_{r} +\sqrt {1-0.969P_{r}- P_{r}^{2} }}{2}} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
(2)負荷端電圧を送電端電圧と同じ\( \ 1 \ \mathrm {[p.u.]} \ \)にしたときの最大送電電力\( \ \mathrm {[p.u.]} \ \)そのときに必要な調相容量\( \ \mathrm {[p.u.]} \ \)
送電端電圧\( \ {\dot V}_{s} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を求める式より，
\[
\begin{eqnarray}
{\dot V}_{s}&=&{\dot V}_{r}+jx{\dot I} \\[ 5pt ]
jx{\dot I}&=&{\dot V}_{s}-{\dot V}_{r} \\[ 5pt ]
\dot I&=&\frac {{\dot V}_{s}-{\dot V}_{r}}{jx} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V_{s}\angle \delta -V_{r}}{jx} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，負荷の複素電力\( \ P_{r}+jQ_{r} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
P_{r}+jQ_{r}&=&{\dot V}_{r}\overline {\dot I} \\[ 5pt ]
&=&V_{r}\frac {V_{s}\angle \left( -\delta \right) -V_{r}}{-jx} \\[ 5pt ]
&=&jV_{r}\frac {V_{s} \left( \cos \delta -j\sin \delta \right) -V_{r}}{x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {V_{s}V_{r}\sin \delta }{x}+j\frac {V_{s}V_{r} \cos \delta -V_{r}^{2}}{x} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となる。よって，\( \ V_{s}=1 \ \mathrm {[p.u.]} \ \)，\( \ V_{r}=1 \ \mathrm {[p.u.]} \ \)のときの最大送電電力は，\( \ \sin \delta =1 \ \)のときであるので，
\[
\begin{eqnarray}
P_{r}&=&\frac {V_{s}V_{r}\sin \delta }{x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1\times 1\times 1 }{0.5} \\[ 5pt ]
&=&2 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ]
Q_{r}&=&\frac {V_{s}V_{r} \cos \delta -V_{r}^{2}}{x} \\[ 5pt ]
&=&\frac {1\times 1\times 0-1^{2}}{0.5} \\[ 5pt ]
&=&-2 \ \mathrm {[p.u.]} \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。また，最大送電電力\( \ P_{r}=2 \ \mathrm {[p.u.]} \ \)を送電しているときの負荷の無効電力\( \ Q_{r0} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{r0}&=&P_{r}\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta } \\[ 5pt ]
&=&2\times \frac {\sqrt {1-0.9 ^{2} }}{0.9 } \\[ 5pt ]
&≒&0.968 \ 64 \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
となるので，必要な調相容量\( \ Q_{C} \ \mathrm {[p.u.]} \ \)は，
\[
\begin{eqnarray}
Q_{C}&=&Q_{r0}-Q_{r} \\[ 5pt ]
&=&0.968 \ 64-\left( -2\right) \\[ 5pt ]
&≒&2.97 \ \mathrm {[p.u.]}（進み） \\[ 5pt ]
\end{eqnarray}
\]
と求められる。
愛知県出身 愛称たけちゃん